Na 2a. quest�o, s� conclui que preciso provar que |f(p) - f(q) >= |p - q|. Mas n�o consegui faze-lo. Isto �, quase n�o sai do lugar. :)
J� na 1a. quest�o, pensei o seguinte, para valer para todo X, ent�o, tem que existir algum N, tal que em p^N(x) - x seja possivel colocar o 101 em evidencia. Entao, o termo independente tem que ser 0 ou um multiplo de 101.
Seja a_n o termo independente de p^n(x), ent�o:
a_1 = 1
a_2 = 1 - 2*1 + 14*1 + 1*1 = 14
pois em (p(x))^n o unico termo sem variavel ser� o 1, entao, (p(x))^3 + 14(p(x))^2 - 2p(x) basta analisar para verificar o a_2.
J� para o a_3, teremos:
a_3 = 1 - 2*a_2 + 14*(a_2)^2 + (a_2)^3
.
.
.
a_n = 1 - 2*a_(n-1) + 14*(a_(n-1))^2 + (a_(n-1))^3
Agora, � necess�rio encontrar um valor de n para que a_n seja 0 ou um multiplo de 101.
Acredito que fazendo uma analise, � poss�vel encontrar series para os termos de x^3, x^2 e x... mas acho que basta o de x, visto que p^N(x) - x � divisivel por 101. Logo, p^N(x) tem que ter o termo x com coeficiente (101*k + 1), onde k � inteiro.
Penso em algumas possibilidades... resolvendo a sequencia que encontrei, podemos testar o valor de n nas sequencias do x^3, x^2 e x.. e verificar a validade, o que provaria o pedido.
Tamb�m � possivel encontrar o valor para qquer uma das outras sequencias e apenas testa-lo nas outras.
Espero ter ajudado, gostaria de ideias para continuar.. mesmo que por outra linha de raciocinio.
Haaa.. mesmo que esquecam esse meu raciocinio, gostaria muito que alguem me ensina-se como resolver esse tipo de sequencia.. � um recorrencia de 1a. ordem, mas n�o linear.. nunca vi nada parecido.
Um abra�o,
Salhab
> - Duvida: na solu��o do problema 6 da OBM - Nivel U - Segunda Fase, que aparece na Eureka 22 est� escrito: "Temos ainda |a'(t)| � menor que ou igual a 2 para todo "t", donde o comprimento da curva "a" � menor ou igual a 4pi". Algu�m poderia me explicar por que isso � v�lido.
>
> - J� faz algum tempo que postei os seguintes problemas da obm. Como ainda n�o apareceu nenhuma solu��o estou postando-os novamente.
>
> 1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x) como
> p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x � divisivel por 101 para todos os inteiros x.
>
> 2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f : D => D uma fun��o sobrejetora tal que
> |f(p) - f(q)| � menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D. Prove que
> |f(p) - f(q)| = |p - q|.
> ( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) )
>
> - obs: Uma solu��o para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, � definida uma fun��o f~ "composi��o de rota��o com espelhamento que coincide com f nos pontos p, q, -p e -q". O que me garante a exist�ncia de tal fun��o? Por qu� ela � uma bije��o? Existe uma solu��o alternativa que n�o utilize tal conceito e nem teoria das medidas?
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