Re: [obm-l] UMA DUVIDA E DOIS PROBLEMAS DA OBM

[gugu@xxxxxxx]

   Vamos lá:
   O comprimento da curva a:[0,2.pi]->R^2 é a integral de 0 a 2.pi de |a´(t)|, e
portanto é menor ou igual a 2.pi.2=4.pi.
   1- O resto da divisão de p(x) (e logo de p^n(x), para todo n) por 101 só
depende do resto da divisão de x por 101. Fazendo x variar em A={0,1,...,100},
definimos g(x) como o resto da divisão de p(x) por 101 (o qual também pertence
a A). Se mostrarmos que g é uma bijeção de A, não é difícil ver que existe n>0
tal que g^n(x)=x para todo x em A, pois A é finito (de fato, só há 101! 
bijeções de A, donde na lista Id,g,g^2,...,g^(101!), há duas bijeções g^i e g^j
iguais, com i<j, donde g^(j-i)=Id), e isto resolve o problema.
      Mostrar que g é uma bijeção de A dá um certo trabalho (pode ser checado
diretamente calculando p(k)(mod 101) para k=0,1,...,100, usando, se desejar a
recorrência p(k+4)=4p(k+3)-6p(k+2)+4p(k+1)-p(k), ou por meio de manipulações
que começam dividindo p(y)-p(x) por y-x, e terminam usando o fato de que -3 não
é quadrado módulo 101).
   2- A seguinte solução funciona mesmo que troquemos D por um conjunto limitado
qualquer de R^n (ou por um espaço métrico qualquer):
      Suponha por absurdo que existam x e y com |f(y)-f(x)|<|x-y|. Seja d>0 tal
que |f(y)-f(x)|=|x-y|-5d. Cobrimos D por bolas de raio d, usando o menor número
possível delas. Seja k esse número de bolas. Havendo diversas coberturas com k
bolas de raio d, escolhemos uma que tenha centros em x_1,x_2,...,x_k tais que
soma(1<=i<j<=k)(|x_i-x_j|) seja mímima. Como f é sobrejetiva e não aumenta
distâncias, a união das bolas com centro nos f(x_i) e raio d também cobre D
(pois a bola com centro em f(x_i) e raio d contém a imagem por f da bola de
centro x_i e raio d). Temos |f(x_i)-f(x_j)|<=|x_i-x_j| pata quaisquer i,j.
Por outro lado, se x pertence à bola com centro em x_r e raio d e y pertence à
bola com centro em x_s e raio d então temos
|f(x_s)-f(x_r)|<=|f(x_s)-f(y)|+|f(y)-f(x)|+|f(x)-f(x_r)|<=
<=|x_s-y|+(|y-x|-5d)+|x-x_r|<=d+(|y-x|-5d)+d=|y-x|-3d<=
<=|y-x_s|+|x_s-x_r|+|x_r-x|-3d<=d+|x_s-x_r|+d-3d=|x_s-x_r|-d<|x_s-x_r|, donde
soma(1<=i<j<=k)(|f(x_i)-f(x_j)|)<=soma(1<=i<j<=k)(|x_i-x_j|), contradizendo a
minimalidade de soma(1<=i<j<=k)(|x_i-x_j|).
    Abraços,
              Gugu



Citando Joÿffffe3o Silva <d79i3mn8@yahoo.com.br>:

> - Duvida: na solução do problema 6 da OBM - Nivel U - Segunda Fase, que
> aparece na Eureka 22 está escrito: "Temos ainda |a'(t)| é menor que ou igual
> a 2 para todo "t", donde o comprimento da curva "a" é menor ou igual a 4pi".
> Alguém poderia me explicar por que isso é válido.
>
>   - Já faz algum tempo que postei os seguintes problemas da obm. Como ainda
> não apareceu nenhuma solução estou postando-os novamente.
>
>     1- (OBM 1996) Seja p(x) o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Defina p^n(x)
> como
>   p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro N tal que p^N(x) - x é
> divisivel por 101 para todos os inteiros x.
>
>   2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor
> que ou igual a 1. Seja f : D => D uma função sobrejetora tal que
>   |f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p - q| para quaisquer p, q de D.
> Prove que
>   |f(p) - f(q)| = |p - q|.
>   (  |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2)  )
>
>   - obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto,
> é definida uma função f~ "composição de rotação com espelhamento que coincide
> com f nos pontos p, q, -p e -q". O que me garante a existência de tal função?
> Por quê ela é uma bijeção? Existe uma solução alternativa que não utilize tal
> conceito e nem teoria das medidas?
>
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