[obm-l] Re: [obm-l] CAMPEONATOS FUTEBOLÍSTICOS!

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Chicao e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Nao, nao acertou : respeitando-se as condicoes de simetria do problema, a 
quantidade minima de pontos que um time deve fazer para ter certeza que 
disputara o quadrangular final e 11. Note que este valor minimo e calculado 
e valido ANTES DO INICIO DO OCTOGONAL, vale dizer, ele DEPENDE do andamento 
do campeonato ...

E por esta ultima razao, inclusive, que os Grandes Matematicos da Midia 
(GMM's) nao se arriscam em determinar tais numeros antes que o fim dos 
campeonatos estejam proximos. A titulo de exemplificacao, se nas 3 primeiras 
rodadas do octogonal que estamos considerando todas as partidas terminarem 
empatadas, o numero 11 acima nao sera mais valido ...

Este numero, evidentemente, nao e magico. E para que nao ocorra perda de 
Generalidade seja N o numero de clubes e P a quantidade deles que passarao a 
proxima fase ( P < N ). Aqui vai um esboco de uma logica correta ( por 
favor, preencha os detalhes ) :

1) Um clube garante a primeira colocacao se, e somente se, vencer todas as 
partidas. Isto e obvio : pois se ele vencer todas as partidas qualquer outro 
clube tera, ao menos, uma derrota e, consequentemente, menos pontos que ele.

2) Um clube GARANTE AO MENOS a segunda colocacao se, e somente se, tiver um 
unico empate e vencer as demais partidas. Isto tambem e obvio. Seja "A" um 
clube nestas condicoes. A existencia de "A" impede que algum outro clube 
tenha vencido todas as partidas ( pois "A" nao perdeu partida alguma ! ) e, 
na pior das hipoteses, um outro clube "B" empatou com "A" e tambem venceu 
suas outras partidas. Por um criterio de desempate que nao nos interessa ( 
digamos, saldo de gols ) "B" terminou em primeiro e "A" em segundo, pois 
todos os outros clubes tiveram ao menos 2 derrotas ( pois qualquer um deles 
perdeu pra "A" e pra "B" ) e portanto ficaram abaixo de "A" na classificacao 
final.

O raciocinio desenvolvido em 2) sugere que o valor numerico atribuido a um 
empate e irrelevante e que a essencia do problema sao os aspectos logicos e 
combinatorios. De fato : eu afirmo que

3) Um clube GARANTE AO MENOS a terceira colocacao se, e somente se, tiver 
uma unica derrota e vencer as demais partidas. Isto e igualmente obvio ... 
Seja "A" um clube nestas condicoes. Se algum outro clube venceu todas as 
partidas, "A" sera segundo colocado, pois qualquer outro clube devera ter, 
ao menos, duas derrotas. Se nenhum outro clube venceu todas as partidas 
entao, na pior das hipotese, dois outros clubes, digamos "B" e "C" tambem 
tiveram uma unica derrota e venceram as demais partidas, no formato : "A" 
venceu "B", "B" venceu "C" e "C" venceu "A". Por um criterio de desempate 
que nao nos interessa, "A" ficou em terceiro lugar, pois todos os demais 
clubes tiveram ao menos 3 derrotas e portanto ficaram abaixo de "A" na 
classificacao final.

Mais uma vez, dou enfase ao fato de que o valor numerico atribuido a uma 
vitoria e irrelevante e que a questao sugere que a essencia do problema sao 
os aspectos logicos e combinatorios. Note tambem que o "comprimento" do 
campeonato nao esta sendo importante ...

Os itens 1), 2) e 3) delineam claramente o problema, isto e, seja E o numero 
de empates e D o numero de derrotas : qual a colocacao minima que um clube 
com tal desempenho pode aspirar ?

A resposta a esta questao nao pode ser apresentada aqui com todo rigor, por 
diversas razoes : pela minha falta de tempo e pouca motivacao para 
Matematica Aplicada, pela espaco que e curto e tambem porque existem 
problemas mundialmente em aberto na area de logistica de esportes que 
dependem da compreensao das tecnicas de abordagem que decorrem deste 
resultado. Mas, para justificar o numero magico que introduzi no inicio, 
digo que refletindo sobre a questao descobri o seguinte :

TEOREMA FUNDAMENTAL : "Se num campeonato simples um clube obtiver D derrotas 
e E empates entao a QUANTIDADE MAXIMA de outros clubes que podem ter uma 
pontuacao final igual ou superior a dele e 2D+E+1"

Este teorema fundamental se prova em dois passos : primeiro, num Lema e 
usando grafos, mostramos que e possivel construir 2D+E+1 clubes com 
pontuacao igual ou superior. A seguir, mostramos que a construcao exibida no 
Lema e maxima.

De posse do TEOREMA FUNDAMENTAL ( e do seu reciproco ) e facil equacionar o 
PROBLEMA GERAL dos campeonatos, pois a quantidade de pontos perdidos maxima 
informa a quantidade minima de pontos que precisam ser ganhos para garantir 
uma colocacao determinada.

1) Exemplo Geral
Maximize Pontos_Perdidos : 2D+E
Dado que :
2D + E + 1 <= P
D >= 0  e  E >= 0

O minimo de pontos sera entao : 2(N-1) - (2D+E)

2) Exemplo do problema proposto
Maximize Pontos_Perdidos : 2D+E
Dado que :
2D+E+1 <= 4
D >= 0  e  E >= 0

Os pares (D,E) que maximizam 2D+E  e simultaneamente respeitam as demais 
desigualdades sao os pares (0,3) e (1,1). Logo : 2(8-1) - (2*1+1) = 11 ... 
eis o numero magico !

Um campeonato e simples ou de 1-forma ( nomeclatura que eu inventei, nao e e 
nao existe nomenclatura padrao ) se cada duas equipes dispurem uma unica 
partida. Sera duplo ou de 2-forma se cada duas equipes disputarem exatamente 
duas partidas e assim sucessivamente...

Usando o Teorema fundamental voce pode obter um resultado semelhante para 
campeonatos duplos - tais como o campeonato brasileiro -, triplos etc. E 
importante ressaltar que tais previsoes valem para ANTES DO INICIO DO 
CAMPEONATO, vale dizer, conforme ja falei, estes numeros DEPENDEM do 
andamento do campeonato.  Isto significa, entre outras coisas, que as 
previsoes dos GMM's realmente só sao confiaveis proximo ao final do 
campeonato. Por isso mesmo que eles nao se manifestam antes.

O raciocinio deles e primitivo : estando proximo do fim, facilmente 
programa-se um computador para gerar todos os possiveis desdobramentos 
futuros. A seguir, para cada desdobramento possivel gera-se uma 
classificacao final. A seguir, fixam-se em uma posicao. Olhando todos as 
classificacoes finais possiveis escolhe-se o maior numero na posicao fixada 
: e esse numero que eles apresentam para os bobalhoes da Midia.

O NUMERO MINIMO em funcao da rodada pode valer para mais de uma rodada, ou 
seja, o numero que calculamos ANTES DO INICIO DO CAMPEONATO pode valer, 
digamos, para as duas primeiras ou tres primeiras rodadas : tupo depende dos 
resultados ! Mas e certo que fixado uma configuracao qualquer, existe um 
NUMERO MINIMO valido para aquela configuracao !

Uma questao interessante e a seguinte :

Por que vitoria vale 3 pontos, empate 1 ponto e derrota nao confere ponto ? 
Qual a razao destes numeros ? Porque nao : vitoria vale 5 pontos, empate nao 
confere pontos e derrota vale -2 pontos ?
Existe alguma caracteristica dos campeonatos para a qual a  pontuacao nao 
seja arbitraria e possa ser escolhida para afetar esta caracteristica ? Como 
?

Alguem consegue falar algo inteligente sobre isso ?

Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
2,1615,211105


>From: Chicao Valadares <chicaovaladares@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] CAMPEONATOS FUTEBOLÍSTICOS!
>Date: Sat, 19 Nov 2005 23:02:39 -0300 (ART)
>
>
> > Oito times disputam a inclusão no quadrangular final
> > de um campeonato de
> > futebol. Sabe-se que cada par de times joga uma só
> > vez entre si e que, em
> > caso de vitória, o time ganha dois pontos, no caso
> > de empate, ganha um ponto
> > e, na derrota, não ganha ponto. Qual é o número
> > mínimo de pontos que um time
> > deve alcançar para garantir a passagem para o
> > quadrangular final?
>
>vou na intuiçao(as vezes, intuiçao na matematica nao
>funciona)...
>
>sao combinaçao de 8,2 = 28 jogos e cada time pode
>fazer de 0 ate 14 pontos pq cada time faz 7
>jogos....como é tudo simetrico, neste caso, vc poderá
>pensar assim: são 2 pontos pra cada jogo ou seja, são
>no maximo 56 pontos disputados e tambem a soma dos
>pontos de todos os times no final sao 56 pontos. No
>pior caso teremos 56/8 = 7 pontos pra cada equipe , ou
>seja, situaçao de indefiniçao total mas pra garantir a
>classificaçao basta vc ter mais um ponto ou seja 8
>pontos que implica que alguem vai ter 6 pontos. Com 8
>pontos vc estará concerteza no grupo dos 4 que mais
>pontuaram.Acertei???
>
>
>
>"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
>O que há é pouca gente para dar por isso... "
>Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
>
>_________________________________________________________________
>As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
>são
>para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja
>destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.
>Favor
>apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será
>tratado
>conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua
>colaboração.
>
>
>The information mentioned in this message and in the archives attached
>are
>of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not
>the
>addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.
>Please
>delete this information and notify the sender. Inappropriate use will
>be
>tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your
>cooperation.
>
>
>
>
>
>
>
>
>_______________________________________________________
>Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.
>Instale o discador agora!
>http://br.acesso.yahoo.com/
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================

_________________________________________________________________
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================