Jah vimos que a familia de funcoes definidas por F(x) = x^3/3 + bx^2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais arbitrárias, satisfaz a F''' = 2. Seja P um plinomio dado por P(x) = a_0 + a_1*x....+a_n*x^n..Vamos determinar todas a funcoes G tais que G' = P em R. O polinomio Q(x) = k + a_0*x + a_1*x^2/2...+ a_n*(x^(n+1))/(n+1) satisfaz a esta condicao. Logo, G e P diferem necessariamente de uma constante, o que nos mostra que G eh da forma de Q. Nenhuma outra funcao satisfaz ao desejado.
No caso, F''' = 2, ou seja (F'')' = 2. Os polinomios de tipo P(x) = 2x + a, a constamte arbitraria, tem P'(x) = 2 para todo x. Logo, F'' eh necessariamente da forma F""(x) = 2x+ a, a arbitrario. Prosseguindo sucessivamente, vc conclui o desejado.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Ricardo de Moraes (PS)
Enviada em: quinta-feira, 17 de novembro de 2005 18:52
Para: 'obm-l@mat.puc-rio.br'
Assunto: [obm-l] derivadasBoa noite,Estou com dificuldades neste problema. Mais especificamente a parte de mostrar que as funcoes que eu encontrei fornecem todos os exemplos possiveis.Segue o problema.Determine as funções F : R -> R derivaveis ate ordem 3 e tendo derivada de ordem 3 satisfazendo F''' = 2. Prove que as funcoes que voce encontrou fornecem todos os exemplos possiveis.[]´sRicardo.
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