RES: [obm-l] desigualdade

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

De modo geral, para todo n>=1 temos P_n = 1/2 * 3/4  *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA >=  MG, para n>1 temos que (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n)  (1 - 1/(2n)) = 1 -  (1 + 1/2 +....1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a desigualdade 1 + 1/2 ....+1/n > ln(n+1), de modo que  (P_n)^(1/n)  < 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n >1,  P_n <  (1 - ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah incorreto.

Quando n--> oo, vemos que  (1 - ln(n+1)/(2n))^n -->0, logo P_n --> 0. Na terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0.

 

 

Artur

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Danilo Nascimento
Enviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 20:53
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] desigualdade

Prove a desigualdade.

1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10

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