Re: [obm-l] CORDA FOCAL M�NIMA (elipse e par�bola)

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

    Prezado Denisson

    Gostaria muito de entender tua solu��o poqu�, logo
abaixo, estou postando meus "rabiscos" que parecem n�o
serem t�o elegantes e sucintos quanto o que vc.
apresenta; mas sinceramente nem entend� se � uma
elipse 
nem, p.e., como AF pode ser perpendicular ao eixo se
tanto A quanto F est�o no eixo? Seriam A e B pontos da
curva em vez de do eixo? Mas como ficam os tais
tri�ngulos congruentes?

    Bem, respiremos fundo, que l� vai minha proposta.
    Consideremos a elipse centrada na origem do
sistema de cooredenadas, com semi-eixo maior, a,
paralelo ao eixo dos x, semi eixo menor b e  c =
sqrt(a^2-b^2) a semi dist�ncia focal, sendo F(c,0),
F'(-c,0)os focos e P(x,y) um ponto gen�rico na curva.
     Aplicando a lei dos cossenoas ao tri�ngulo FPF' e
 a propriedade PF+PF'=2a, n�o � dificil chegar a 

     PF = b^2/(a+c*cos t) onde t � o angulo que PF faz
com o eixo dos x.

    O complemento da corda, PF' tem sua express�o
modificada apenas pelo �ngulo t-pi em lugar de t ou   

trocando o sinal de cos t:

     P'F = b^2/(a-c*cost),

    Somando temos o comprimento da corda focal:

     PP'=2b^2/(a^2-c^2*(cos t)^2)

     que assume um m�nimo quando (cos t)^2=0 for
m�nimo, i.e., t=pi/2.


    Mas, por favor, explique seu racioc�nio.          

     []s

    Wilner

--- Denisson <denissoncs@gmail.com> escreveu:

> Aparentemente o que se tem que provar � que dado um
> ponto e uma reta, a
> perpendicular � menor que qualquer obl�qua. Bom, axo
> que cabe uma prova
> aqui:
> 
> 
> Axioma 1: A menor dist�ncia entre dois pontos � uma
> reta.
> 
> Seja F o foco, A e B pontos do eixo tais que AF �
> uma perpendicular ao eixo
> e BF qualquer obl�qua. Prolongue o segmento AF at�
> um ponto A' tal que AF =
> AA'. Depois ligue BA'. Perceba que formamos dois
> tri�ngulos congruentes,
> ent�o A'B = BF. Note tamb�m que segundo o nosso
> axioma A'F < A'BF -> A'A +
> AF < A'B + BF -> 2*AF < 2*BF e portanto AF<BF.
> 
> Traduzindo, a corda tra�ada por um dos focos
> perpendicularmente ao eixo � a
> corda focal m�nima...
> 
> 
> 
> 
> Em 04/11/05, Igor O.A. <igordiscussao@gmail.com>
> escreveu:
> >
> > Estava lendo um livro de geometria anal�tica e, no
> cap�tulo de ELIPSES,
> > havia a seguinte AFIRMA��O:
> >
> > "A corda tra�ada por um dos focos,
> perpendicularmente ao eixo, denomina-se
> > *latus rectum corda *ou* focal m�nima."*
> >  Ou seja, essa tal corda � a de menor comprimento
> que passa pelo foco.
> > Mas... COMO PROVAR ISSO???
> >   No cap�tulo de PAR�BOLA tamb�m h� uma AFIRMA��O
> bem parecida com a
> > anterior:
> >  "A corda tirada pelo foco, paralelamente �
> diretriz, recebe a denomina��o
> > de *latus rectum corda *ou* focal m�nima."*
> >  Gostaria tamb�m de saber como provar essa
> afirma��o no caso de uma
> > par�bola.
> > **
> > Obrigado.
> >
> >
> > --
> > I G O R
> >
> > Jesus ama voc�.
> >
> 
> 
> 
> --
> Denisson
> 
> "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu n�o a
> deves esquecer:
> � s� com o cora��o que se pode ver direito. O
> essencial � invis�vel aos
> olhos!" (Saint Exup�rry)
> 



	



	
		
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