[(a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x + [(-a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x = 2(a^2 +1)^1/2
Perceba que (a + (a^2 +1)^1/2)^1/2 e (-a + (a^2 +1)^1/2)^1/2] são inversos multiplicativos.
Fazendo [(a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x=y e [(-a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x=1/y
Então a equação fica y+ 1/y=2(a^2 +1)^1/2
Concluímos que y=(a^2 +1)^1/2 +a ou y=(a^2 +1)^1/2 -a
Como afirmamos que [(a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x=y,
e notando que[(a + (a^2 +1)^1/2)^1/2]^x = (a+(a^2+1)^1/2)^x/2
(a+(a^2+1)^1/2)^x/2=(a^2 +1)^1/2 +a --> x/2=1 x=2
ou
(a+(a^2+1)^1/2)^x/2= -a +(a^2 +1)^1/2 e notando novamente que a+(a^2+1)^1/2 e -a +(a^2 +1)^1/2 sao inversos multiplicativos, x/2=-1 então x=-2.
S={2,-2} espero que dê pra entender meu raciocinio.