[obm-l] Polinômios

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Suponhamos que o enunciado seja:

 

Se P(x) , Q(x), R(x) e S(x) são todos polinômios tais que P(x^5) +
xQ(x^5) + x^2R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)S(x) , provar que P(x),
Q(x) e R(x) são divisíveis por x-1.

Seja w = cis(2pi/5).

Então, w^5 = 1  e  1 + w + w^2 + w^3 + w^4 = 0

 

Substituindo x = w, w^2 e w^3 na equação, obteremos o sistema linear homogêneo 3x3 nas incógnitas P(1), Q(1) e R(1):

P(1) + wQ(1) + w^2R(1) = 0

P(1) + w^2Q(1) + w^4R(1) = 0

P(1) + w^3Q(1) + wR(1) = 0

 

O determinante do sistema:

1     w     w^2

1   w^2   w^4

1   w^3     w

é igual a:

2 - 2w^2 + w^3 - w^4 <> 0, pois o polinômio mínimo de w é:

m(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4, e é único, como se sabe.

 

Logo, o sistema só admite a solução trivial: P(1) = Q(1) = R(1) = 0.

 

Isso quer dizer que P(x), Q(x) e R(x) são divisíveis por x-1.

 

[]s,

Claudio.