> Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte:
>
> Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então:
> (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
> e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n.
>
> Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG).
>
> Expandindo o lado esquerdo, teremos:
> 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
> S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
> Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
> S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
> ...
> S_n = a_1*a_2*...*a_n.
>
> É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k).
>
> Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
> 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.
>
> Finalmente, vale a igualdade <==>
> S_1 = Binom(n,1) = n <==>
> a_1 = ... = a_n.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 |
>
| Assunto: |
RE: RES: [obm-l] |
> > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi
> > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade,
> > o
> > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores
> > de
> > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao
> > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se
> > decidir
> > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh
> > maximo
> > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no
> > caso
> > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas
> > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos
> > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral,
> > exige
> > '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como
> > este,
> > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me
> > lembro
> > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto
> > eh
> > '>'maximo ou minimo global.
> > '>'
> > '>'Artur
> >
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =========================================================================
> >