Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o
seguinte:
Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1,
então:
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n
e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <=
n.
Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1,
então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se
todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >=
MG).
Expandindo o lado esquerdo, teremos:
1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde:
S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k.
Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n,
S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n
...
S_n = a_1*a_2*...*a_n.
É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de
modo que S_k >= Binom(n,k).
Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que:
1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n.
Finalmente, vale a igualdade <==>
S_1 = Binom(n,1) = n <==>
a_1 = ... = a_n.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 3 Oct 2005
19:02:31 -0300 |
| Assunto: |
RE: RES:
[obm-l] |
> Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que
nem exigi
> muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
>
> []s,
> Daniel
>
> '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na
realidade,
> o
> '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os
multiplicadores
> de
> '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas
nao
> '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral,
para se
> decidir
> '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto
extremo, eh
> maximo
> '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda
ordem, no
> caso
> '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e
restricoes com derivadas
> '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além
disto, precisamos
> '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de
modo geral,
> exige
> '>'condicoes de convexidade ou concavidade.
> '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a
casos como
> este,
> '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam
simetria. Nao me
> lembro
> '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que
o ponto
> eh
> '>'maximo ou minimo global.
> '>'
> '>'Artur
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================
>