Re: [obm-l] idempotentes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 22.09.05 13:02, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Olá Pessoal. 
> 
> Gostaria de saber como calculo os idempotentes (x*x =
> x) dos seguintes anéis:
> 
> Z/(pq) e Z/(pq*q)
> 
Supondo que p e q sejam primos distintos, teremos:
x^2 == x (mod pq) <==>
x(x - 1) == 0 (mod p)   e   x(x - 1) == 0 (mod q) <==>
x == 0 ou x == 1 (mod p)   e   x == 0 ou x == 1 (mod q)
Agora eh soh usar o TCR e resolver os quatro sistemas de congruencias
resultantes. Eh trivial ver que x = 0 e x = 1 sao solucoes de dois deles.
Os dois restantes sao:
x == 0 (mod p)
x == 1 (mod q)
e
x == 1 (mod p)
x == 0 (mod q)

Por exemplo, em Z/(15), os idempotentes sao 0, 1, 6 e 10, onde:
6 == 0 (mod 3)  e  6 == 1 (mod 5)
e
10 == 1 (mod 3)  e  10 == 0 (mod 5)

***

Pro outro anel voce faz do mesmo jeito, pois x^2 == x (mod q^2) <==>
x(x - 1) == 0 (mod q^2) <==> q^2 | x  ou  q^2 | x - 1 uma vez que x e x-1
sao primos entre si <==> x == 0  ou  x == 1 (mod q^2).


[]s,
Claudio.

> Obs.: Exercício do Livro do Miles Reid (álgebra
> comutativa...)
> 
> Grato, Éder. 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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