[obm-l] Re: Raizes irracionais de um polinomio P(x)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Sep 21, 2005 at 11:37:53PM -0300, filipe junqueira wrote:
> CAros amigos da lista e NIcolau....
> Como vão?
>    Meu professor(na verdade mais de um deles) e eu tivemos algumas duvidas 
> em relação a uma "regra" de raizes polinomiais.
> Ai vai ela..
> Seja p(x) um polinomio de grau n que possui coeficientes inteiros. Seja uma 
> de suas raizes= a+b(sqrtc) | é possivel afirmar que com certeza a-b(sqrtc) 
> tambem é raiz.
> Isso é verdade para todo p(x) com coeficientes inteiros?

Sim (claro, desde que c não seja um quadrado).

> Se for, tal teorema tem nome?

Não que eu saiba.

> Tem demostração?

Seja K = Q[sqrt(c)] = {x+y*sqrt(c); x,y em Q} e seja f: K -> K
definida por f(x+y*sqrt(c)) = f(x-y*sqrt(c)).
Observe que z em Q implica f(z) = z, f(u+v) = f(u) + f(v) e f(uv) = f(u)f(v).
Assim, se p for um polinômio de coeficientes racionais e u em K,
p(f(u)) = a_n f(u)^n + ... + a_1 f(u) + a_0
= a_n f(u^n) + ... + a_1 f(u) + a_0
= f(a_n u^n) + ... + f(a_1 u) + f(a_0)
= f(a_n u^n + ... + a_1 u + a_0) = f(p(u)).
Segue claramente daí que p(u) = 0 se e somente se p(f(u)) = 0.

> em que livro posso encontrar tal demostração?

Qualquer livro de álgebra a nível de graduação inclui este tipo de coisa
como preparação para teoria de Galois mas isto pode não estar destacado
como um teorema.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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