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Ol� pessoal,
Eu participei de uma discuss�o em um f�rum que me
causou uma s�ria confus�o. H� um usu�rio afirmando que n�o existe ra�z de reais
negativos para qualquer �ndice, pois as propriedades dos expoentes levariam a um
absurdo. O caso dos �ndices pares � �bvio, mas os �mpares me deixam com a pulga
atr�s da orelha.Caso eu consiga analisar passagem
por passagem da demonstra��o que isso leva a um absurdo matem�tico, eu aceitarei
de p�s juntos. Sei que a l�gica pode levar a coisas que n�s achamos
estranhas...
Primeiramente foi postado o seguinte:
Proposi��o: Em R. Se
rt[n](x^n) = x, qualquer x real e n natural maior ou igual a 2, ent�o x =
-x.
Demonstra��o: x = rt[n] (x^n) = rt[2n] (x^2n) =
rt[2n] [(-x)^2n] = -x
Mas como a proposi��o � para qualquer n, at� mesmo
os pares, isso me parece �bvio pois todos sabemos que rt[2](x^2) = sqrt(x^2) =
|x|. Ent�o propus que se colocasse na hip�tese que x < 0 e n �mpar. Ap�s isso
foi dado um contra-exemplo:
-2 = rt[3] (-8) = rt[3x2] [(-8)^2)] = rt[3x2]
(64) = rt[3](8) = 2 e ainda afirmou que a altera��o na hip�tese � desnecess�ria
pois a primeira demonstra��o cobre todo os valores de x e n.
Algumas passagens acimas me deixaram em d�vida. J�
que estamos tratando de um n�vel t�o baixo da matem�tica ent�o devemos
justificar e estar cientes de tudo que fazemos. A exponencia��o sempre foi um
problema pra mim em demonstra��es rigorosas. Estou lan�ando a discuss�o aqui na
lista com o intuito de entender e compartilhar.
Bruno Bonagura
Obs.: Segue o link do t�pico que gerou a discuss�o
( http://www.somatematica.com.br/forumsm/viewtopic.php?t=5824 )
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