encontrando a mediana relativa a um lado em funçao dos lados:
ma^2= a^2/4 +c^2-ac*cosA
b^2/2 = a^2/2+c^2/2-accosA
ma^2 -b^2/2=c^2/2-a^2/4
analogamente
4ma^2=2b^2+2c^2-a^2
4mb^2=2a^2+2c^2-b^2
4mc^2=2a^2+2b^2-c^2
analisando a formula de herao:
S =raiz(p)(p-a)(p-b)(p-c)
onde p e o semiperimetro
p =(a+b+c)/2
jogando p na formula acima encontramos:
S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]
2ma^2=b^2+c^2-a^2/2
2mb^2=a^2+c^2-b^2/2
2mc^2=a^2+b^2-c^2/2
2ma^2 =(b+c)^2 -a^2 +a^2/2-2bc
-2ma^2=-(b-c)^2+a^2/2-2bc
(b+c)^2 -a^2=2ma^2-a^2/2+2bc
a^2-(b-c)^2= -2ma^2 +a^2/2+2bc
o produto destas duas expressoes da:
4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2
encontrando a^2, b^2, c^2
multiplicando a 1a por 2 e somando com as outras duas:
4ma^2=2b^2+2c^2-a^2
8ma^2+4mb^2=3b^2+6c^2
8ma^2+4mc^2=6b^2+3c^2
multiplicando a 2a por 2 e diminuindo com a terceira:
8ma^2+8mb^2-4mc^2=9c^2
8ma^2+8mc^2-4mb^2=9b^2
8mb^2+8mc^2-4ma^2=9a^2
81b^2c^2=64ma^4+32ma^2mb^2+32mc^2ma^2+80mb^2mc^2-32mc^4-32mb^4
a^2/2 -2ma^2=(4mb^2+4mc^2-2ma^2)/9 - 2ma^2=(4mb^2+4mc^2-20ma^2)/9
elevando ao quadrado=(1/81)*(16mb^4+32mb^2mc^2+16mc^4-160ma^2mb^2-160ma^2mc^2+400ma^4)
4b^2c^2=(1/81)*[256ma^4+128ma^2mb^2+128ma^2mc^2+320mc^2mb^2-128mc^4-128mb^4]
4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2=(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]
sendo assim, a area e dada por:
S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]=
=1/4*raiz[(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]]
144/16=9
=1/3*raiz[-ma^4 +2ma^2mb^2+2ma^2mc^2+2mc^2mb^2-mc^4-mb^4]]
[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]
On 9/16/05, Júnior <jssouza1@gmail.com> wrote:
Em um livro de geometria plana de lingua nao muito "familiar" tinha a seguinte formula para a área de um triangulo:
S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]
onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é...
Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ?
Júnior.