Re: [obm-l] G. plana. Área de triangulo.

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

encontrando a  mediana relativa a um lado em funçao dos lados:

 

ma^2= a^2/4 +c^2-ac*cosA

b^2/2 = a^2/2+c^2/2-accosA

 

ma^2 -b^2/2=c^2/2-a^2/4

analogamente

 

4ma^2=2b^2+2c^2-a^2

4mb^2=2a^2+2c^2-b^2

4mc^2=2a^2+2b^2-c^2

 

analisando a formula de herao:

S =raiz(p)(p-a)(p-b)(p-c)

 

onde p e o semiperimetro

p =(a+b+c)/2

 

jogando p na formula acima encontramos:

 

S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]

2ma^2=b^2+c^2-a^2/2

2mb^2=a^2+c^2-b^2/2

2mc^2=a^2+b^2-c^2/2

 

2ma^2 =(b+c)^2 -a^2 +a^2/2-2bc

-2ma^2=-(b-c)^2+a^2/2-2bc

(b+c)^2 -a^2=2ma^2-a^2/2+2bc

a^2-(b-c)^2= -2ma^2 +a^2/2+2bc

 

o produto destas duas expressoes da:

 

4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2

 

encontrando a^2, b^2, c^2

multiplicando a 1a por 2 e somando com as outras duas:

 

4ma^2=2b^2+2c^2-a^2

8ma^2+4mb^2=3b^2+6c^2

8ma^2+4mc^2=6b^2+3c^2

 

multiplicando a 2a por 2 e diminuindo com a terceira:

 

8ma^2+8mb^2-4mc^2=9c^2

8ma^2+8mc^2-4mb^2=9b^2

8mb^2+8mc^2-4ma^2=9a^2

 

81b^2c^2=64ma^4+32ma^2mb^2+32mc^2ma^2+80mb^2mc^2-32mc^4-32mb^4

 

a^2/2 -2ma^2=(4mb^2+4mc^2-2ma^2)/9  - 2ma^2=(4mb^2+4mc^2-20ma^2)/9

 

elevando ao quadrado=(1/81)*(16mb^4+32mb^2mc^2+16mc^4-160ma^2mb^2-160ma^2mc^2+400ma^4)

 

4b^2c^2=(1/81)*[256ma^4+128ma^2mb^2+128ma^2mc^2+320mc^2mb^2-128mc^4-128mb^4]

4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2=(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]

 

sendo assim, a area e dada por:

 

S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]=

=1/4*raiz[(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]]

 

144/16=9

=1/3*raiz[-ma^4 +2ma^2mb^2+2ma^2mc^2+2mc^2mb^2-mc^4-mb^4]]

 

[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]

 

 

 

On 9/16/05, Júnior <jssouza1@gmail.com> wrote:

Em um livro de geometria plana de lingua nao muito "familiar"  tinha a seguinte formula para a área de um triangulo:
S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]
onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é...
Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ?

Júnior.