[obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao apresentar
nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao, trivialmente
verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo. 
Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
enunciado.
Eh a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de lgita-2002
Enviada em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:02
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??



Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
VERACIDADE ou FALSIDADE DE:

C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:

d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},

onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.


Sou grato por qualquer ajuda.

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Notação:
1) C^{1}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) contínuas que
possuem derivada derivada primeira contínua.

2) C_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que tem um
número FINITO de descontinuidades do "tipo salto": são contínuas pela
DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO
pela esquerda.
Exemplo: f(x) é igual a 1 se x<0 e igual 2 se x>=0;

3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.

4) C^{1}_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que são
contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada
pertence a C_{S}([0,1]) )

Exemplo:  |x| pertence a C^{1}_{S}.
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[]'s
Gustavo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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