Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Aug 31, 2005 at 06:01:56PM -0300, lgita-2002 wrote:
> 
> Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
> VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
> 
> C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
> 
> d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
> 
> onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.

É falso. Considere a função f(x) = |2x-1|.
Afirmo que d(f,g) >= 2 para toda g em C^1. De fato,
d(f,g) >=
max ( lim_{x -> 1/2 esq} |f'(x) - g'(x)|, lim_{x -> 1/2 dir} |f'(x) - g'(x)| )
 = max ( |-2-g'(1/2)|, |2-g'(1/2)| ) >= 2.

[]s, N.
> 
> 
> Sou grato por qualquer ajuda.
> 
> ____________________________________________________
> Notação:
> 1) C^{1}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) contínuas que
> possuem derivada derivada primeira contínua.
> 
> 2) C_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que tem um número FINITO de descontinuidades do "tipo salto": são contínuas pela DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO pela esquerda.
> Exemplo: f(x) é igual a 1 se x<0 e igual 2 se x>=0;
> 
> 3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
> 
> 4) C^{1}_{S}([0,1]) -> conjunto das funções f:[0,1]-> R (reais) que são contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada pertence a C_{S}([0,1]) )
> 
> Exemplo:  |x| pertence a C^{1}_{S}.
> ______________________________________________________
> 
> 
> 
> []'s
> Gustavo
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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