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Re: [obm-l] Ajuda na demonstração
Na primeira linha ele chamou o produto A.B de C, e da propriedade demultipliaçao de matrizes:A=| a11 a12| e B = |b11 b12| |a21 a22| |b21 b22|
multiplicando as duas matrizes vamos obter a matriz C que vai ser dada por:C= |c11 c12| = |a11b11+a12b21 a11b12+a12b22| | |c21 c22| |a21b11+a22b21 a21b12+a22b22|
dai vem a somatoria que ele da:
c11 = a11b11+a12b21 c12= a11b12+a12b22c21= a21b11+a22b21 c22= a21b12+a22b22note que nas somas dos c´s da matriz C apenas os segundos indicesvariam e nos b´s apenas os primeiros indices variam desta formapodemos escrever estas somas da forma geral de somatoria:
cij = ∑aikbkj
k varia de 1 a n onde n e a dimensao das matrizes.
a transposta de C ele chamou de X, desta forma:
X=Ctlembrando que se uma matriz e dada por
C= |c11 c12| |c21 c22|Ct =X = |c11 c21| = |x11 x12| |c12 c22| |x21 x22|
ou xij = cji
aqui termina a primeira parte da demonstraçao, agora ele vai pegar asegunda parte da desigualdade que ele quer demonstrar e vai provar quee igual a primeira:
Bt.Atchamou Bt = De como anteriormente no caso xij=cji, teremos:
djk = bkj ele usou k como indice porque ele vai fazer aparecer jposteriormente:
do mesmo jeitoE=Atlogo, como anteriormente:eki = aik
fazendo o produto de D.E, teremos o mesmo caso acima de A.B, mas nestecaso obteremos uma matriz Y, teremos tambem um somatorio que e dadopor:
Y =D.E lembrando que y e um produto de matrizes transpostas por isso oindice embaixo esta trocado.
yji = ∑ djk.eki mas djk= bkj e eki = aik, substituindo teremos:yji = ∑ bkj.aik = ∑aik.bkj
ou yij = ∑ ajkbki = cji =xij
cij = ∑aikbkjentao cji = ∑ajkbki vc troca os indices.
yij =xij
Bt.At =(A.B)tabraço, saulo.
On 7/24/05, admath admath <admath05@yahoo.com.br> wrote:> > Alguém pode me ajudar a entender, pelo menos, as duas primeiras linhas da> demonstração, por favor?> > > > > (A.B)t = Bt.At (Propriedade da matriz transposta)> > > > De acordo com o livro que tenho a demonstração se apresenta da seguinte> maneira:> > n> > C = A.B -> cij = ∑ aik.bkj (1ºmembro)> > k=1> > > > X = Ct -> xji = cij> > > > Por outro lado,> > > n n> > D = Bt -> djk = bkj Y = D.E -> yji = ∑ djk.eki = ∑ bkj.aik => cij = xji> > E = At -> eki = aik k=1 > k=1> > > > Logo, X=Y> > > > Obrigado.> > ________________________________> Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! > >
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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