RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão da OBM universitária

["LEANDRO L RECOVA" <leandrorecova@xxxxxxx>]

Daniel,

EDO significa Equacao Diferencial ordinaria, e e uma equacao que envolve as 
derivadas de f(x) onde o objetivo e encontrar uma funcao f(x) que satisfaca 
a equacao dada. No caso da questao abaixo, voce pode isolar de um lado da 
equacao os termos que envolvem f(x) e f'(x) e do outro os termos que nao tem 
f(x), assim teriamos

(f'(x)/f(x))=2/x

Integrando a equacao em ambos os lados encontramos

ln(f(x)) = ln(x^2)+ ln(K), onde ln(K) e uma constante. Entao,

f(x) = K(x^2).

Como f(2)=2, entao, K=1/2.  Dai, temos f(x)=0.5*(x^2). Como voce quer f(3) 
temos

f(3) = 9/2, como o Nicolau encontrou.

Se voce quer saber mais sobre EDO's , existem diversos livros que falam 
sobre isso. Um curso introdutorio pode ser encontrado no livro do Boyce e De 
Prima.

Regards,

Leandro
Los Angeles, CA.

>From: "Daniel Regufe" <danielregufe@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão da OBM universitária
>Date: Wed, 29 Jun 2005 13:44:11 +0000
>
>
>
>> >
>> > A função derivável : f: R -> R tem as seguintes propriedades:
>> > a) f(0) = 0 e f(2) = 2
>> > b) Para todo "a" pertencente a R\{0}, a reta tangente ao gráfico de f 
>>no
>> > ponto P = (a,f(a)) corta o eixo x em um ponto A e o eixo y em um ponto 
>>B de
>> > tal forma que A é o ponto médio do
>> > segmento BP.
>> > Calcule f(3).
>>
>>O item (b) diz que a reta tangente ao gráfico de f em x=a,
>>
>>(y-f(a)) = f'(a) (x-a)
>>
>>passa por pontos A = (b,0) e B = (0,c) de tal forma que
>>(b,0) é o ponto médio de (a,f(a)) e (0,c).
>>Assim b = a/2 e c = -f(a) donde o coeficiente angular
>>é f'(a) = 2f(a)/a. Assim f satisfaz a EDO
>>
>>x f'(x) = 2 f(x), f(2) = 2
>
>Cheguei nessa equação tb e parei aqui ! Eu não entendi oq vc fez abaixo... 
>EDO ... q isso ?
>
>>
>>Resolvendo a EDO, f(x) = x^2/2 donde f(3) = 9/2.
>
>obrigado
>
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