[obm-l] sistemas dinamicos

["fniski" <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Olá pessoal, estou estudando aspectos basicos de sistemas dinamicos em um curso de eq. diferenciais que estou
fazendo.
Por falta de referencias aqui em casa estou com uma duvida aparentemente boboca e esta dificil achar alguma
resposta pelo google.
Bom, é pedido para se estudar a estabilidade do equilibrio (0,0) do sistema
x' = y - x*f(x,y)
y' = -x - y*f(x,y)
onde f é C infinito, f(0,0) = 0, e f >= 0 numa vizinhanca da origem.

Bom, começei inocentemente analisando o sistema linearizado, porem como os autovalores resultantes são
imaginarios puros nao podemos concluir com certeza nada.

Fui então em busca de uma funcao de Liapunov.
Chutei V(x,y) = a*x^2  + b*y^2  com a e b ambos nao nulos.
Bom, fazendo as continhas 
V' = 2a(xy - f(x,y)*x^2) - 2b(xy + f(x,y)*y^2)
Agora a conclusao:
Como f >= 0 numa vizinhanca da origem, para x e y positivos e suficientemente pequenos (ou proximos da origem),
basta tomar a= 0 e b > 0 e com isso
V' = -2b(xy + f(x,y)*y^2) < 0, pq qq x,y nesta vizinhança.
logo, a origem é assintoticamente estavel segundo liapunov.

Gostaria de saber se esta abordagem esta correta já que fiz às cegas, não tenho nenhum exemplo resolvido por
perto para dar uma sapiada.

Tambem pergunto onde entra a hipotese que f(0,0) = 0. Para a linearizacao ela é até util mas nao vi motivo para
usa-la no uso de funcoes auxiliares.

Obrigado

Niski



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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