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Re:[obm-l] sistemas dinamicos

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 28 Jun 2005 11:58:23 -0300
Assunto: [obm-l] sistemas dinamicos
> Olá pessoal, estou estudando aspectos basicos de sistemas dinamicos em um curso de eq. diferenciais que estou
> fazendo.
> Por falta de referencias aqui em casa estou com uma duvida aparentemente boboca e esta dificil achar alguma
> resposta pelo google.
> Bom, é pedido para se estudar a estabilidade do equilibrio (0,0) do sistema
> x' = y - x*f(x,y)
> y' = -x - y*f(x,y)
> onde f é C infinito, f(0,0) = 0, e f >= 0 numa vizinhanca da origem.
>
> Bom, começei inocentemente analisando o sistema linearizado, porem como os autovalores resultantes são
> imaginarios puros nao podemos concluir com certeza nada.
>
> Fui então em busca de uma funcao de Liapunov.
> Chutei V(x,y) = a*x^2 + b*y^2 com a e b ambos nao nulos.
> Bom, fazendo as continhas
> V' = 2a(xy - f(x,y)*x^2) - 2b(xy + f(x,y)*y^2)
> Agora a conclusao:
> Como f >= 0 numa vizinhanca da origem, para x e y positivos e suficientemente pequenos (ou proximos da origem),
> basta tomar a= 0 e b > 0 e com isso
> V' = -2b(xy + f(x,y)*y^2) < 0, pq qq x,y nesta vizinhança.
> logo, a origem é assintoticamente estavel segundo liapunov.
>
> Gostaria de saber se esta abordagem esta correta já que fiz às cegas, não tenho nenhum exemplo resolvido por
> perto para dar uma sapiada.
>
> Tambem pergunto onde entra a hipotese que f(0,0) = 0. Para a linearizacao ela é até util mas nao vi motivo para
> usa-la no uso de funcoes auxiliares.
>
> Obrigado
>
> Niski
>
Oi, Niski:
 
Eu não manjo nada de sistemas dinâmicos, mas vou dar um pitaco mesmo assim...
 
Minha idéia é ver o que acontece com U = x^2 + y^2 = quadrado da distância à origem a medida que o tempo passa, para (x,y) suficientemente próximo da origem (de modo que f(x,y) >= 0).
 
dU/dt = 2xx' + 2yy' = 2xy - 2x^2f(x,y) - 2xy - 2y^2f(x,y) =
-2(x^2+y^2)f(x,y) <= 0, pois f(x,y) >= 0.
 
Assim, concluímos que dU/dt <= 0, ou seja, o sistema não se afasta da origem e pode realmente se aproximar quando f(x,y) > 0.
 
É isso que se chama de sistema assintóticamente estável?
 
[]s,
Claudio.