RE: [obm-l] Caso de divisibilidade

["Maurício" <briqueabraque@xxxxxxxxx>]

  Meu computador ficou com defeito essa semana,
finalmente estou de volta...
  Realmente, eu estava tentando provar o teorema com p
composto porque o enunciado do exercício não dizia
nada sobre ele ser primo. Será que nesses casos é de
praxe mandar um e-mail pro autor listando essas
pequenas falhas que a gente encontra?
  Aqui vai a prova mais simples que eu consegui fazer
supondo p primo:

m(n) = (p^a - n) / n
comb(p^a,k) = número de combinações de p^a tomados k a
k
comb(p^a,k) = p^a/k * m(1) * m(2) * ... * m(k-1)

  Provar que p divide comb(p^a,k):

  Supondo n menor que p^a, n = p^b * j , 0<=b<a ,
(j,p) = mínimo múltiplo comum de j e p = 1:
  
m(n) = (p^a-p^b*j)/(p^b*j) = p^b*(p^(a-b)-j)/(p^b*j)
m(n) = (p^(a-b)-j)/j

  Logo, m(1) * ... * m(k-1) pode ser escrito na forma
M/J, sendo que (J,p) = 1. Tomando k na forma:
 
k = p^d*f , 0<=d<a , (f,p) = 1

  Temos:

comb(p^a,k) = p^(a-d) * M / (f * J)

  Como comb(p^a,k) é inteiro e (f*J,p) = 1, f*J divide
M. Logo, p^(a-d) divide comb(p^a,k).


  Abraços a todos. Valeu pelas dicas!
  Maurício


> Eu supuz que p é primo. Se não for, então o teorema
> não vale.
> 
> 
> >
> > Cláudio, Daniel, outros,
> >
> > Consegui encontrar vários contra-exemplos para
> esse
> > problema. Sendo comb(a,b) o número de combinações
> de a
> > elementos tomados b a b, ou
> comb(a,b)=a!/((a-b)!b!),
> > pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para
> c>=2,
> > a^c>b. Entretanto:
> >
> > comb(6^2,4) = 3 (mod 6)
> > comb(22^2,4) = 11 (mod 22)
> > comb(6^3,8) = 3 (mod 6)
> > (...)
> >
> > Abraços,
> > Maurício
> >
> >
> > > Interessante! Dei uma olhada no livro que estou
> > estudando e ele menciona essa fórmula (...)
> >
> > > > Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero,
> > conhecida fórmula para o expoente de p em n!,
> igual a
> > > > [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
> > > > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k)
> (1 <=
> > k <= p^m - 1) é:
> > > > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] +
> > > > (...)
> > > > A partir dessas duas desigualdades é fácil
> > concluir que o expoente de p no numerador é
> > estritamente maior do que o expoente de p no
> > denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k).
> > > >
> > > > []s,
> > > > Claudio.
> >
> > > > > Oi, Maurício,
> > > > > é possível resolver essa como aplicação
> imediata
> > do teorema de lucas, que é o seguinte:
> > > > > (...)
> > > > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais
> > > > elementar deste fato...
> > > > >
> > > > > []s,
> > > > > Daniel
> > > > >
> > > > > > Oi, pessoal,
> > > > > >
> > > > > > Estou em cima desse exercício de teoria
> dos
> > números faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem
> > alguma dica?
> > > > > > (...)
> >
> >




		
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