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RE: [obm-l] Caso de divisibilidade

Eu supuz que p � primo. Se n�o for, ent�o o teorema n�o vale.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Tue, 21 Jun 2005 21:59:26 -0700 (PDT)
Assunto: RE: [obm-l] Caso de divisibilidade
>
> Cl�udio, Daniel, outros,
>
> Consegui encontrar v�rios contra-exemplos para esse
> problema. Sendo comb(a,b) o n�mero de combina��es de a
> elementos tomados b a b, ou comb(a,b)=a!/((a-b)!b!),
> pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para c>=2,
> a^c>b. Entretanto:
>
> comb(6^2,4) = 3 (mod 6)
> comb(22^2,4) = 11 (mod 22)
> comb(6^3,8) = 3 (mod 6)
> comb(6^2,9) = 4 (mod 6)
> comb(12^2,9) = 4 (mod 12)
> comb(10^2,25) = 4 (mod 10)
> comb(6^3,27) = 2 (mod 6)
> comb(33^2,121) = 9 (mod 33)
> comb(21^3,343) = 6 (mod 21)
>
> Pode ser que eu tenha errado alguma coisa na hora de
> programar o computador para fazer as contas, mas pelo
> menos o primeiro exemplo eu conferi na m�o. Eu n�o
> achei esses n�meros ao acaso. Em todos eles, sendo a =
> p*q, com p e q primos, eu fiz b = p^c e escolhi um q
> que desse problema.
>
> Abra�os,
> Maur�cio
>
>
> > Interessante! Dei uma olhada no livro que estou
> estudando e ele menciona essa f�rmula (...)
>
> > > Um jeito mais f�cil � usar a velha e, espero,
> conhecida f�rmula para o expoente de p em n!, igual a
> > > [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
> > > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <=
> k <= p^m - 1) �:
> > > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] +
> > > (...)
> > > A partir dessas duas desigualdades � f�cil
> concluir que o expoente de p no numerador �
> estritamente maior do que o expoente de p no
> denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k).
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
>
> > > > Oi, Maur�cio,
> > > > � poss�vel resolver essa como aplica��o imediata
> do teorema de lucas, que � o seguinte:
> > > > (...)
> > > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais
> > > elementar deste fato...
> > > >
> > > > []s,
> > > > Daniel
> > > >
> > > > > Oi, pessoal,
> > > > >
> > > > > Estou em cima desse exerc�cio de teoria dos
> n�meros faz tempo e n�o cheguei a nada, algu�m tem
> alguma dica?
> > > > > (...)
>
>
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