RE: [obm-l] Caso de divisibilidade

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Maur�cio,
o resultado s� vale para pot�ncias de primos. Repare que todos os seus exemplos
s�o constru�dos com n�meros compostos. A demonstra��o do Cl�udio est� ok.

[]s,
Daniel

 '>'  Cl�udio, Daniel, outros,
 '>'
 '>'  Consegui encontrar v�rios contra-exemplos para esse
 '>'problema. Sendo comb(a,b) o n�mero de combina��es de a
 '>'elementos tomados b a b, ou comb(a,b)=a!/((a-b)!b!),
 '>'pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para c>=2,
 '>'a^c>b. Entretanto:
 '>'
 '>'comb(6^2,4) = 3 (mod 6)
 '>'comb(22^2,4) = 11 (mod 22)
 '>'comb(6^3,8) = 3 (mod 6)
 '>'comb(6^2,9) = 4 (mod 6)
 '>'comb(12^2,9) = 4 (mod 12)
 '>'comb(10^2,25) = 4 (mod 10)
 '>'comb(6^3,27) = 2 (mod 6)
 '>'comb(33^2,121) = 9 (mod 33)
 '>'comb(21^3,343) = 6 (mod 21)
 '>'
 '>'  Pode ser que eu tenha errado alguma coisa na hora de
 '>'programar o computador para fazer as contas, mas pelo
 '>'menos o primeiro exemplo eu conferi na m�o. Eu n�o
 '>'achei esses n�meros ao acaso. Em todos eles, sendo a =
 '>'p*q, com p e q primos, eu fiz b = p^c e escolhi um q
 '>'que desse problema.
 '>'
 '>'  Abra�os,
 '>'  Maur�cio
 '>'
 '>'
 '>'>   Interessante! Dei uma olhada no livro que estou
 '>'estudando e ele menciona essa f�rmula (...)
 '>'
 '>'> > Um jeito mais f�cil � usar a velha e, espero,
 '>'conhecida f�rmula para o expoente de p em n!, igual a
 '>'> > [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ....
 '>'> > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <=
 '>'k <= p^m - 1) �:
 '>'> > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] +
 '>'> > (...)
 '>'> > A partir dessas duas desigualdades � f�cil
 '>'concluir que o expoente de p no numerador �
 '>'estritamente maior do que o expoente de p no
 '>'denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k).
 '>'> > 
 '>'> > []s,
 '>'> > Claudio.
 '>'
 '>'> > > Oi, Maur�cio,
 '>'> > > � poss�vel resolver essa como aplica��o imediata
 '>'do teorema de lucas, que � o seguinte:
 '>'> > > (...)
 '>'> > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais
 '>'> > elementar deste fato...
 '>'> > >
 '>'> > > []s,
 '>'> > > Daniel
 '>'> > >
 '>'> > > > Oi, pessoal,
 '>'> > > >
 '>'> > > > Estou em cima desse exerc�cio de teoria dos
 '>'n�meros faz tempo e n�o cheguei a nada, algu�m tem
 '>'alguma dica?
 '>'> > > > (...)
 '>' 
 '>'
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 '>'Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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