Re: [obm-l] Equacões diofantinas

[Felipe Takiyama <fitakiyama@xxxxxxxxxxxxxx>]

Olá!

Bem, deu pra perceber que passar congruência parece ser uma boa idéia nesse tipo
de equação. Mas e nesta:

(a^3)+(b^4)=c^5

Tentei fatorar (supondo igualdade entre dois dos termos) e não cheguei a uma
conclusão plausível, o que leva a crer que a=! b =! c. Também tentei chutar
alguns valores (apelação!) e nao deu em nada (ou eu chutei muito mal). Qual
seria uma possível solução?

Felipe

Citando Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br>:

> Olá Bruno,
>
> x^3 = -5 (mod 21) = 16 (mod 21) => 1(mod 3) E 2(mod 7)
>
> olhando x^3 = 2(mod 7):
> se x for divísível por 7 obviamente não é resposta,
> então existem 6 possibilidades:
> x = 7y + 1 =>x^3 =(7y+1)^3 =7*...+1^3 = 1(mod 7)
> x = 7y + 2 =>(7y+2)^3 =7*...+2^3 = 8(mod 7)=1(mod 7)
> x = 7y + 3 =>(7y+3)^3 = 27(mod 7) = 6(mod 7)
> x = 7y + 4 =>(7y+4)^3 = 64(mod 7) = 1(mod 7)
> x = 7y + 5 =>(7y+5)^3 = 125(mod 7) = 6(mod 7)
> x = 7y + 6 =>(7y+6)^3 = 216(mod 7) = 6(mod 7)
>
> conclusão: x^3 = 2(mod 7) não tem solução.
>
> Acho que é isso.
>
> []´s Demétrio
>
>
> --- Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> escreveu:
>
> > Oi. Faz muito tempo que não brinco com essas
> > equações... se eu falar
> > bobagem, me corrijam por favor.
> >
> > I) Quando x = 0 (mod 2), x^2 = 0 (mod 4); quando x =
> > 1 (mod 2), x^2 = 1 (mod
> > 4)
> > Então, x^2 + y^2 pode ser 0, 1 ou 2 (mod 4).
> > 4*z - 1 = -1 (mod 4), logo não há solução inteira.
> >
> > II) 21y^2 = -x^3 - 5
> > Temos que 21y^2 mod 21 = 0
> > então, se x é solução, -x^3 - 5 deve ser da forma:
> > -x^3 - 5 = 0 (mod 21)
> > x^3 = -5 (mod 21)
> > Porem não existe inteiro cujo cubo é congruente a 5
> > modulo 21, logo não há
> > solução inteira. (*) isso aqui eu conclui com um
> > programinha em C que
> > calculou pra mim todos os resíduos cúbicos modulo
> > 21, e não localizei nenhum
> > que fosse congruente a -5 (i.e.: não há inteiro
> > cúbico que dividido por 21
> > deixe resto 16, segundo meu programinha). Como
> > concluir isso "na mão"? Tem
> > que testar todos!? Bem... eu nunca estudei nada a
> > respeito de resíduos
> > cúbicos. Alguma recomendação?
> >
> > Abraço
> > Bruno
> >
> > On 6/7/05, Felipe Takiyama
> > <fitakiyama@click21.com.br> wrote:
> > >
> > > Alguém poderia me ajudar com as equações abaixo?
> > (uma dica, não sei como
> > > começar)
> > >
> > > Encontre as soluções inteiras de:
> > >
> > > I) (x^2) + (y^2) = 4*z - 1
> > > II) (x^3) + (21y^2) +5=0
> > >
> > > Obrigado,
> > > Felipe
> > >
> > >
> > >
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