Re: [obm-l] Equacões diofantinas

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Bruno,

x^3 = -5 (mod 21) = 16 (mod 21) => 1(mod 3) E 2(mod 7)

olhando x^3 = 2(mod 7):
se x for divísível por 7 obviamente não é resposta,
então existem 6 possibilidades:
x = 7y + 1 =>x^3 =(7y+1)^3 =7*...+1^3 = 1(mod 7)
x = 7y + 2 =>(7y+2)^3 =7*...+2^3 = 8(mod 7)=1(mod 7)
x = 7y + 3 =>(7y+3)^3 = 27(mod 7) = 6(mod 7)
x = 7y + 4 =>(7y+4)^3 = 64(mod 7) = 1(mod 7)
x = 7y + 5 =>(7y+5)^3 = 125(mod 7) = 6(mod 7)
x = 7y + 6 =>(7y+6)^3 = 216(mod 7) = 6(mod 7)

conclusão: x^3 = 2(mod 7) não tem solução.

Acho que é isso.

[]´s Demétrio


--- Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> escreveu:

> Oi. Faz muito tempo que não brinco com essas
> equações... se eu falar 
> bobagem, me corrijam por favor.
> 
> I) Quando x = 0 (mod 2), x^2 = 0 (mod 4); quando x =
> 1 (mod 2), x^2 = 1 (mod 
> 4)
> Então, x^2 + y^2 pode ser 0, 1 ou 2 (mod 4).
> 4*z - 1 = -1 (mod 4), logo não há solução inteira.
> 
> II) 21y^2 = -x^3 - 5
> Temos que 21y^2 mod 21 = 0
> então, se x é solução, -x^3 - 5 deve ser da forma:
> -x^3 - 5 = 0 (mod 21)
> x^3 = -5 (mod 21)
> Porem não existe inteiro cujo cubo é congruente a 5
> modulo 21, logo não há 
> solução inteira. (*) isso aqui eu conclui com um
> programinha em C que 
> calculou pra mim todos os resíduos cúbicos modulo
> 21, e não localizei nenhum 
> que fosse congruente a -5 (i.e.: não há inteiro
> cúbico que dividido por 21 
> deixe resto 16, segundo meu programinha). Como
> concluir isso "na mão"? Tem 
> que testar todos!? Bem... eu nunca estudei nada a
> respeito de resíduos 
> cúbicos. Alguma recomendação?
> 
> Abraço
> Bruno
> 
> On 6/7/05, Felipe Takiyama
> <fitakiyama@click21.com.br> wrote:
> > 
> > Alguém poderia me ajudar com as equações abaixo?
> (uma dica, não sei como
> > começar)
> > 
> > Encontre as soluções inteiras de:
> > 
> > I) (x^2) + (y^2) = 4*z - 1
> > II) (x^3) + (21y^2) +5=0
> > 
> > Obrigado,
> > Felipe
> > 
> > 
> > 
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