[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Joao Victor, estas questoes nao sao dificeis. Na 5a vc fez o mais dificil.
Se f(x) = g(x) + C para todo real x e f(a) = g(a),entao f(a) = g(a) + C =>
f(a) = f(a) + C  e aih morreu Neves, né? 

A 1a e uma simples aplicacao do T, valor medio ao intervalo [x,y].

Ajudando com a 4a que me pareceu a mais interessante (eu mandei a solucao de
uma outra  na mesma linha que eh ateh mais interessante):

Para todo x<>0, temos que  f ''(x) =  (f '(x) - 4)/x  A existencia de f''
implica na diferenciabilidade de f' e, portanto, na sua continuidade em R.
Logo, para x<>0 f'' eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas (a do
denominador eh a funcao identidade), sendo assim continua para todo x<>0.
Por inflexao horizontal entendo um ponto a no qual f'(a) = f''(a) = 0. Se
f''(a) =0, entao a equacao funcional dada implica que f'(a) = 4 >0, de modo
que as condicoes da inflexao horizontal nao sao satisfeitas.
Artur 

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Joáo Vitor
Enviada em: sábado, 4 de junho de 2005 16:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!


Amigos da OBM,

aí vão mais algumas questões de calculo:

1. Verifique que todo x, y pertencente a [a,b] teremos | lnx - lny | <= |
x-y |/a
     *dica: Usar Teorema do vaor médio!



2. O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno do ponto x = 0
    é definido por

Pn (f ;0) = f(0) + f '(0)*x (1/2!)*f ''(0)*x^2 + (1/3!)*f '''(0)*x^3
+...+(1/n!)*F^n (0)*x^n

Determine o polinômio de taylor de ordem 5 das funções exponencial, seno,
cosseno, em torno do ponto x =0



3. Use Derivação implícita para determinar as derivadas das funções arcsen:
(-pi/2, pi/2) ->R,
    arccos: (o,pi) ->R e arctg: (-pi/2, pi/2) ->R.


4. Seja f derivável até a segunda ordem em R e tal que, para todo x,
tenhamos que

                                   x*f ''(x) + f '(x) = 4

*Mostre que f '' é contínua em todo x diferente de 0.
*Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal.


5. Prove que se f ' (x) = g' (x) para todo x pertençente aos reais então
tias funções diferempor uma contatante.
    Daí conclua que se as derivadas de duas funções são iguais e as funções
coincidem em um ponto Xo então
    tais funções são iguais.

      *Obs: a primeira parte da 5ª questão eu conseguir fazer, mas a segunda
não!

Abraço a todos!
João Vitor Goes
Fortaleza - CE


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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