Determine todas as funções f: Â ® Â tais que f(x + y) – f(x – y) = f(x).f(y) para x, y Î Â.
Resolução:
Fazendo x=y=0 ® f(0)-f(0)=f(0).f(0) ® f(0)=0
Sabemos que f(x + y) – f(x – y) = f(x).f(y) (1)
Fazendo x=y e y=x ® f(y+x)-f(y-x)=f(x).f(y) (2)
(2)-(1) ® f(y-x)-f(x-y)=0 ® f(y-x)=f(x-y) ® f(y-x)=f((-1)(y-x)), portanto a função é par!
Fazendo y=x ® f(2x)-f(0)=f(x).f(x) ® f(x+x)=f(x)^2® f(2x)=f(x)^2
Fazendo y=2x ® f(x+2x)-f(x-2x)=f(x).f(2x) ® f(3x)-f(-x)=f(x).f(x)^2®f(3x)-f(x)=f(x)^3®f(3x)=f(x)^3+f(x)
Fazendo x= 2x’ e y=x’ em (1) : f(2x+x)-f(2x-x)=f(2x).f(x) ® f(3x)-f(x)= f(x)^2.f(x) ® f(x)^3+f(x)= f(x)3 ®f(x)=0 para todo x real ?