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Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 23 May 2005 16:10:27 -0300
Assunto: Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
> Fabio Niski wrote:
>
> > Fabio Niski wrote:
> >
> >> Pessoal, este é o exercicio 5 do Capitulo 10 do Real and Complex
> >> Analysis :
> >>
> >> Suponha que b é um numero complexo, |b| != 1. Calcule
> >> Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2))
> >> integrando [(z - b)^-1]*{[z-(1/b)]^-1} sobre o circulo unitario.
> >>
> >> Alguem saberia como resolver? Poderia postar aqui?
> >> Obrigado.
> >
> >
> >
> > Ignorem! Eu acabei de conseguir.
>
> Alias, agora estou na duvida.
> Pela minha resolucao se o valor absoluto de b for menor do que 1,
> eu cheguei em:
>
> Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)) = -2*pi*(b^2 - 1)
>
> Testando no Mathematica, eu vi que para valores de b com modulo muito
> proximo a zero, o meu resultado parece estar correto, mas quando eu tomo
> b = 0,9 + 0i por exemplo, o Mathematica me diz que a integral vale
> aprox 33.0694 , enquanto pela minha formula chego em aprox 1.19381.
>
> E agora? Quem é que esta certo?
>
 
Pra b = 0,9, o integrando fica 1/(1,81 - 1,80*cos(t))
Fazendo uma soma de Riemann com subintervalos medindo 2pi/1000 numa planilha Excel, eu achei que a integral vale aproximadamente 33,0694.
Ou seja, o Mathematica está certo.
 
Além disso, repare que se b = 0,9, então 1 - b^2 = 0,19.
Repare também que 33,0694*0,19 = 6,2832 = 2*3,1416.
 
Ou seja, há uma alta probabilidade de que a integral para b qualquer (com módulo <> 1) valha 2*pi/(1 - b^2). Pelo menos pra b = 0, o resultado bate exatamente.
 
Quem disse que matemática não é uma ciência experimental?
 
[]s,
Claudio.