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Re: [obm-l] grupo abeliano

(xy)^3 = x^3y^3 ==>
xyxyxy = xxxyyy ==>
(cancelando x na esquerda e y na direita)
yxyx = xxyy ==>
(yx)^2 = x^2y^2
 
Como isso vale pra quaisquer x e y em G, também podemos dizer que:
(xy)^2 = y^2x^2
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 23 May 2005 12:57:33 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] grupo abeliano
> como (xy)^2 = y^2x^2???
>
>
> --- Claudio Buffara
> escreveu:
> > on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at
> > chicaovaladares@yahoo.com.br wrote:
> >
> > >
> > > Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta
> > deixando
> > > fazer esse aqui: como provo se no grupo temos
> > (xy)^3 =
> > > x^3y^3, tal grupo é abeliano??
> > >
> > >
> > Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de
> > G nao for um multiplo de
> > 3.
> >
> > Nesse caso, teremos:
> > (xy)^3 = x^3y^3 e (yx)^2 = x^2y^2 ==> (xy)^2 =
> > y^2x^2.
> >
> > Assim:
> > xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) ==>
> > e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) ==>
> > y^3x^2 = x^2y^3
> >
> > Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em
> > G. Logo:
> > y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
> > y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) ==>
> > yx^2 = y^2x^2y^(-1) ==>
> > yx^2 = (xy)^2y^(-1) ==>
> > yx^2 = xyxyy^(-1) ==>
> > yx^2 = xyx ==>
> > yx = xy.
> >
> > Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em
> > G. Logo:
> > y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
> > y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) ==>
> > x^2 = y^2x^2y^(-2) ==>
> > x^2 = (xy)^2y^(-2) ==>
> > x^2 = xyxyy^(-2) ==>
> > x = yxy^(-1) ==>
> > xy = yx.
> >
> > ***
> >
> > Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um
> > grupo nao abeliano cuja
> > ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau
> > ou o Gugu vao arranjar
> > algum.
> >
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> O que há é pouca gente para dar por isso... "
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