Re: [obm-l] grupo abeliano

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

como (xy)^2 = y^2x^2???


--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu:
> on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at
> chicaovaladares@yahoo.com.br wrote:
> 
> > 
> > Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta
> deixando
> > fazer esse aqui: como provo se no grupo temos
> (xy)^3 =
> > x^3y^3, tal grupo é abeliano??
> > 
> > 
> Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de
> G nao for um multiplo de
> 3.
> 
> Nesse caso, teremos:
> (xy)^3 = x^3y^3  e  (yx)^2 = x^2y^2 ==> (xy)^2 =
> y^2x^2.
> 
> Assim: 
> xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) ==>
> e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) ==>
> y^3x^2 = x^2y^3
> 
> Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em
> G. Logo:
> y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
> y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) ==>
> yx^2 = y^2x^2y^(-1) ==>
> yx^2 = (xy)^2y^(-1) ==>
> yx^2 = xyxyy^(-1) ==>
> yx^2 = xyx ==>
> yx = xy.
> 
> Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em
> G. Logo:
> y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==>
> y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) ==>
> x^2 = y^2x^2y^(-2) ==>
> x^2 = (xy)^2y^(-2) ==>
> x^2 = xyxyy^(-2) ==>
> x = yxy^(-1) ==>
> xy = yx.
> 
> ***
> 
> Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um
> grupo nao abeliano cuja
> ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau
> ou o Gugu vao arranjar
> algum.
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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> 

"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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