Re: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Ol� Dem�trio:

>Seja uma equa��o do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz Xr.
>Seja uma sequ�ncia tal que x[1] = k; x[n+1] = f(x[n])
>O valor inicial da sequ�ncia(estimativa inicial para
>Xr) � arbitr�rio, de forma que k = Xr + A, onde A � o
>erro na estimativa inicial.
>Assim:
>x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B;
>x[3] = f(Xr+B) = Xr + C;
>Para simplificar o racioc�nio, vamos impor a pesada
>condi��o de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A],
>|df(x)/dx| < 1, isto �, o m�dulo da derivada de f(x) �
>menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o
>erro na estimativa inicial.
>Acho que esta condi��o garante a converg�ncia, pois
>neste caso sempre teremos A>B>C....
>� verdade que as restri��es s�o t�o fortes que
>provavelmente isso n�o conduz a nada �til.

   Engano.
    Mas seu esfor�o � bastante interessante.
    Talvez descubra algo interessante com ele.
          Esse resultado � frequentemente usado em
sistemas din�micos.  De fato ele n�o permite apenas achar pontos
fixos de f(x) = x como tamb�m �rbitas peri�dicas de per�odo
2   (f o f) (x) = x  desde que no intervalo I,  |f'(x_1)|.|f'(x_2| <1  com a
condi��o de
que x_1 e x_2 perten�am a I.  Pode-se achar tamb�m �rbitas de per�odo 4:
   (f o f o f o f ) (x) = x desde que | f'(x_1)|. | f'(x_2)|. | f'(x_3)|. |
f'(x_4)| < 1 e    x_1,x_2,x_3,x_4 perten�am a I (a duplica��o de per�odo das
�rbitas �
conhecida em sistemas din�micos com o nome de bifurca��o).  Plotando
os x_i em fun��o de \mu temos o famoso "diagrama de bifurca��o".

      Vale lembrar o teorema de Sarkovskii,
      per�odo 3 ==>   CAOS.
        Em outras palavras: Se tivermos uma �rbita peri�dica de per�odo 3
teremos tamb�m �rbitas peri�dicas de todos os per�odos.
          Assim temos podemos ordenar os n�meros naturais de acordo
com a cascata de bifurca��es de Feigenbaum:
              1 <]    2  <]     2^2  <]  2^3 <]   ...  3.2^2 <] 3.2^3  <]
....  <] 3
     Geralmente as bifurca��es s�o governadas por par�metros de ordem.
      No mapa log�stico por exemplo: F_{\mu}(x) = \mu x (1-x).   \mu � um
par�metro   de ordem.
          Se \mu � pequeno temos apenas um ponto fixo diferente de zero e
atrator (pois todas as solu��es na variedade est�vel de (0,1) convergem para
ele).          Ao aumentarmos \mu come�amos a dobrar o per�odo
      da �rbita at� um valor cr�tico \mu_{\infty} onde temos �rbitas
peri�dicas de todos os per�odos e uma �rbita densa.

         Na condi��o de caos (\mu =4) a aplica��o � sobrejetiva
(f:[0,1] --> [0,1]) e o mapa log�stico � erg�dico (os conjuntos
invariantes  ou tem medida zero ou tem medida um) -- de fato o conjunto de
medida zero � justamente    o conjunto de Cantor em [0,1]   que � obtido
fazendo-se:

              INTERSEC_{n=-infty}^{infty} f^(-n) [ I ]       onde I � [0,1]

  f^(-n)  significa a composta de f com ela mesma n vezes.  Isso ocorre pois
    a imagem inversa de um compacto por uma aplica��o cont�nua
        � um conjunto compacto e a intersec��o de compactos encaixados �
compacto - que pode    ou n�o ter medida zero - neste caso tem.

                 O conjunto de Cantor que � um caso particular de fractal.

         Para maiores informa��es:

[1]    Clark Robinson: Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and
Chaos
[2]    Bao Lin: Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems.
[3]  Katok and Hassemblat:  Introduction to the Modern Theory of Dynamical
Systems.

[]s a todos.

Ronaldo L. Alonso



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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