Re: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Olá Demétrio:

>Seja uma equação do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz Xr.
>Seja uma sequência tal que x[1] = k; x[n+1] = f(x[n])
>O valor inicial da sequência(estimativa inicial para
>Xr) é arbitrário, de forma que k = Xr + A, onde A é o
>erro na estimativa inicial.
>Assim:
>x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B;
>x[3] = f(Xr+B) = Xr + C;
>Para simplificar o raciocínio, vamos impor a pesada
>condição de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A],
>|df(x)/dx| < 1, isto é, o módulo da derivada de f(x) é
>menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o
>erro na estimativa inicial.
>Acho que esta condição garante a convergência, pois
>neste caso sempre teremos A>B>C....
>É verdade que as restrições são tão fortes que
>provavelmente isso não conduz a nada útil.

   Engano.
    Mas seu esforço é bastante interessante.
    Talvez descubra algo interessante com ele.
          Esse resultado é frequentemente usado em
sistemas dinâmicos.  De fato ele não permite apenas achar pontos
fixos de f(x) = x como também órbitas periódicas de período
2   (f o f) (x) = x  desde que no intervalo I,  |f'(x_1)|.|f'(x_2| <1  com a
condição de
que x_1 e x_2 pertençam a I.  Pode-se achar também órbitas de período 4:
   (f o f o f o f ) (x) = x desde que | f'(x_1)|. | f'(x_2)|. | f'(x_3)|. |
f'(x_4)| < 1 e    x_1,x_2,x_3,x_4 pertençam a I (a duplicação de período das
órbitas é
conhecida em sistemas dinâmicos com o nome de bifurcação).  Plotando
os x_i em função de \mu temos o famoso "diagrama de bifurcação".

      Vale lembrar o teorema de Sarkovskii,
      período 3 ==>   CAOS.
        Em outras palavras: Se tivermos uma órbita periódica de período 3
teremos também órbitas periódicas de todos os períodos.
          Assim temos podemos ordenar os números naturais de acordo
com a cascata de bifurcações de Feigenbaum:
              1 <]    2  <]     2^2  <]  2^3 <]   ...  3.2^2 <] 3.2^3  <]
....  <] 3
     Geralmente as bifurcações são governadas por parâmetros de ordem.
      No mapa logístico por exemplo: F_{\mu}(x) = \mu x (1-x).   \mu é um
parâmetro   de ordem.
          Se \mu é pequeno temos apenas um ponto fixo diferente de zero e
atrator (pois todas as soluções na variedade estável de (0,1) convergem para
ele).          Ao aumentarmos \mu começamos a dobrar o período
      da órbita até um valor crítico \mu_{\infty} onde temos órbitas
periódicas de todos os períodos e uma órbita densa.

         Na condição de caos (\mu =4) a aplicação é sobrejetiva
(f:[0,1] --> [0,1]) e o mapa logístico é ergódico (os conjuntos
invariantes  ou tem medida zero ou tem medida um) -- de fato o conjunto de
medida zero é justamente    o conjunto de Cantor em [0,1]   que é obtido
fazendo-se:

              INTERSEC_{n=-infty}^{infty} f^(-n) [ I ]       onde I é [0,1]

  f^(-n)  significa a composta de f com ela mesma n vezes.  Isso ocorre pois
    a imagem inversa de um compacto por uma aplicação contínua
        é um conjunto compacto e a intersecção de compactos encaixados é
compacto - que pode    ou não ter medida zero - neste caso tem.

                 O conjunto de Cantor que é um caso particular de fractal.

         Para maiores informações:

[1]    Clark Robinson: Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and
Chaos
[2]    Bao Lin: Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems.
[3]  Katok and Hassemblat:  Introduction to the Modern Theory of Dynamical
Systems.

[]s a todos.

Ronaldo L. Alonso



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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