Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Alguém da lista gosta de cálculo numérico? Este
problema do Cláudio e uma mensagem  anterior do Filipe
Junqueira, que se relacionava a equação cos(x) = x,
parecem sugerir um algoritmo para solução numérica de
alguns tipos muito particulares de equações.

Recapitulando, o caso são sequências na forma:
x[1] = k e x[n+1] = f(x[n])

Em geral, sse a sequência convergir, isto vai ocorrer
com x[n] tendendo a um valor tal que f(x[n]) = x[n].

Claro que o problema todo é determinar em que
condições a sequência vai convergir, o que em geral é
complicado.

Um raciocínio (bastante) simplificado me parece o
seguinte:

Seja uma equação do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz Xr.

Seja uma sequência tal que x[1] = k; x[n+1] = f(x[n])
O valor inicial da sequência(estimativa inicial para
Xr) é arbitrário, de forma que k = Xr + A, onde A é o
erro na estimativa inicial.

Assim:
x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B; 
x[3] = f(Xr+B) = Xr + C;
...

B é o erro no segundo passo, C no terceiro, etc...

Para simplificar o raciocínio, vamos impor a pesada
condição de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A],
|df(x)/dx| < 1, isto é, o módulo da derivada de f(x) é
menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o
erro na estimativa inicial. 
Acho que esta condição garante a convergência, pois
neste caso sempre teremos A>B>C....


É verdade que as restrições são tão fortes que
provavelmente isso não conduz a nada útil.
Mesmo assim eu peguei um compilador C e botei umas
equações em loop para gerar sequências nesta forma.
Funcionou em alguns casos.

claro, só para equações convenientemente escolhidas, 
em intervalos onde |df(x)/dx| < 1. Por exemplo:

cos(sin(sin(cos((x^2)/10)))) -x^3 +.4*x^2 +.1*x = x;
k = x[1] = 1/2; x[100] = 0.67622814889611 


sin(sin(cos(log((x^2)/10)))) +.5*x^3 -.1*cos(x^2) = x;
k = x[1] = 1/2; x[100] = -1.25555334286300 


De fato parece algo tão restrito que dificilmente
seria útil, talvez como curiosidade. Alguém que
conheça cálculo numérico sabe se alguma variação deste
tipo de algoritmo é usada em sol. numéricas?


[]´s

Demétrio


--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:

> 
> Deixa eu ver se não me atrapalho...
> 
> Se a(n) converge, significa que, para um n
> suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k. 
> Isto é: x^a(n)=a(n)  =>  x^k=k
> 
> Assim:
> x^k = k
> k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k
> 
> Sabemos que para um x muito grande a sequência
> diverge, então a pergunta é: qual é o maior x
> possível?
> Pelo raciocínio anterior sabemos que x deve obedecer
> a
> relação ln(x) = ln(k)/k, onde k é o valor para onde
> a
> sequencia converge. Podemos usar esta expressão para
> procurar o valor máximo de x porque a função ln(x) é
> monótona e crescente para qq x positivo. Em outras
> palavras: o valor máximo de ln(x) corresponde também
> ao valor máximo de x.
> 
> Assim:
> y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o máximo de y(k) =
> ln(k)/k : 
> 
> dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 =>  1/x^2 - ln(x)/x^2
> =>
> ln(k) = 1 => k = e
> 
> Para determinar x, temos:
> y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e
> ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e)
>  
> Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge,
> neste
> caso, para k=e.
> 
> Será que é isso?
> 
> []´s 
> 
> Demétrio
> 
> --- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> escreveu:
> > Esse também é um belo problema:
> > 
> > Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), para
> n
> > >= 1, então a sequência ((a(n)) converge se e
> > somente se x <= e^(1/e).
> > 
> > []s,
> > Claudio.
> > 
> > De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > 
> > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> > 
> > Cópia:
> > 
> > Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
> > 
> > Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma
> > definitiva.
> > 
> > > Oi Claudio e demais colegas
> > > desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > Resposta correta.
> > >
> > > Em linhas gerais, a historia do problema e a
> > seguinte : alguem resolveu um
> > > problema mostrando que haviam duas respostas
> > possiveis, uma das quais
> > > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou
> querendo
> > saber a opcao correta. Eu
> > > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a
> > resposta correta :
> > >
> > > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e
> > irracional
> > >
> > > E entao resolvi construir explicitamente uma
> > sequencia de numeros
> > > transcendentes que tinha como limite um numero
> > natural. Aqui entrou o GUGU,
> > > reclamando que mesmo nao sabendo provar a
> > transcendencia, nao haviam
> > > hipoteses suficientes para postular tal
> > transcendencia. A reclamacao dele,
> > > correta e justificavel, era implicitamente a
> > proposicao de um problema :
> > > este problema abaixo, onde voce ensaia uma
> solucao
> > ...
> > >
> > > Voce faz a observacao basica e fundamental :
> > fixando a "base", o restante (
> > > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na
> > sua linguagem, r=t^r. Daqui
> > > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma
> > tal passagem perante algumas
> > > assembleias que amam o detalhe, muito
> > provavelmente voce sera linchado e
> > > execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade
> > de algumas pessoas de 
> > > essencializar
> > > o trivial e trivializar o essencial. Mas elas
> > existem. E sao muitas !
> > >
> > > Note tambem que o pulo logico final precisa ser
> > conectado com o "e" as 
> > > demais hipoteses.
> > >
> > > Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ?
> > Mantenha do lado esquerdo do
> > > cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito
> > estude as sequencias da forma
> > > X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo
> > equivalente a um "raio de
> > > convergencia".
> > >
> > > E com os melhores votos
> > > de paz profunda, sou
> > >
> > > Paulo Santa Rita
> > > 3,2154,170505
> > >
> > > >From: "claudio.buffara"
> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >To: "obm-l"
> > > >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma
> > definitiva.
> > > >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
> > > >
> > > > > Ola Pessoal desta
> > > > > lista ... OBM-L,
> > > > >
> > > > > Esse problema e antigo, bonito e foi
> proposto
> > aqui nesta lista - se nao
> > > >me
> > > > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo
> > (GUGU), em uma forma menos
> > > >geral.
> > > > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
> > > > >
> > > > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i
> e
> > um irracional algebrico.
> > > > > Definimos a sequencia :
> > > > >
> > > > > A(1) = T
> > > > > A(N+1) = T^A(N)
> > > > >
> > > > > Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a
> > afirmacao : "Existe N, N
> > > > > suficientemente grande, tal que A(N) e
> > algebrico". Voce consegue provar
> > > >ou
> > > > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e
> > possivel aplicar, DIRETAMENTE, o
> > > > > teorema de Gelfond.
> > > > >
> > > > > Um Abraco a Todos
> > > > > Paulo Santa Rita
> > > > > 3,1242,170505
> > > > >
> > > > >
> > > >Oi, Paulo:
> > > >
> > > >Se lim A(n) existe e é igual ao racional r,
> então
> > lim A(n+1) = r.
> > > >Portanto, teremos: r = t^r ==>
> > > >t = r^(1/r) = algébrico ==>
> > > >contradição, pois estamos supondo que t é
> > transcendente.
> > > >
> > > >Logo, ou lim A(n) não existe ou existe mas é
> > irracional.
> > > >
> > > >Assim, a sentença:
> > > >lim A(n) é racional ==> A(N) é algébrico para
> > algum N suficientemente
> > > >grande
> > > >é verdadeira, já que a sua premissa é falsa.
> > > >
> > > >Era isso o que você tinha em mente?
> > > >
> > > >[]s,
> > > >Claudio.
> > >
> > 
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> 
=== message truncated ===


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