Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Deixa eu ver se não me atrapalho...

Se a(n) converge, significa que, para um n
suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k. 
Isto é: x^a(n)=a(n)  =>  x^k=k

Assim:
x^k = k
k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k

Sabemos que para um x muito grande a sequência
diverge, então a pergunta é: qual é o maior x
possível?
Pelo raciocínio anterior sabemos que x deve obedecer a
relação ln(x) = ln(k)/k, onde k é o valor para onde a
sequencia converge. Podemos usar esta expressão para
procurar o valor máximo de x porque a função ln(x) é
monótona e crescente para qq x positivo. Em outras
palavras: o valor máximo de ln(x) corresponde também
ao valor máximo de x.

Assim:
y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o máximo de y(k) =
ln(k)/k : 

dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 =>  1/x^2 - ln(x)/x^2 =>
ln(k) = 1 => k = e

Para determinar x, temos:
y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e
ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e)
 
Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge, neste
caso, para k=e.

Será que é isso?

[]´s 

Demétrio

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu:
> Esse também é um belo problema:
> 
> Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), para n
> >= 1, então a sequência ((a(n)) converge se e
> somente se x <= e^(1/e).
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000
> 
> Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma
> definitiva.
> 
> > Oi Claudio e demais colegas
> > desta lista ... OBM-L,
> >
> > Resposta correta.
> >
> > Em linhas gerais, a historia do problema e a
> seguinte : alguem resolveu um
> > problema mostrando que haviam duas respostas
> possiveis, uma das quais
> > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo
> saber a opcao correta. Eu
> > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a
> resposta correta :
> >
> > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e
> irracional
> >
> > E entao resolvi construir explicitamente uma
> sequencia de numeros
> > transcendentes que tinha como limite um numero
> natural. Aqui entrou o GUGU,
> > reclamando que mesmo nao sabendo provar a
> transcendencia, nao haviam
> > hipoteses suficientes para postular tal
> transcendencia. A reclamacao dele,
> > correta e justificavel, era implicitamente a
> proposicao de um problema :
> > este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao
> ...
> >
> > Voce faz a observacao basica e fundamental :
> fixando a "base", o restante (
> > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na
> sua linguagem, r=t^r. Daqui
> > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma
> tal passagem perante algumas
> > assembleias que amam o detalhe, muito
> provavelmente voce sera linchado e
> > execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade
> de algumas pessoas de 
> > essencializar
> > o trivial e trivializar o essencial. Mas elas
> existem. E sao muitas !
> >
> > Note tambem que o pulo logico final precisa ser
> conectado com o "e" as 
> > demais hipoteses.
> >
> > Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ?
> Mantenha do lado esquerdo do
> > cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito
> estude as sequencias da forma
> > X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo
> equivalente a um "raio de
> > convergencia".
> >
> > E com os melhores votos
> > de paz profunda, sou
> >
> > Paulo Santa Rita
> > 3,2154,170505
> >
> > >From: "claudio.buffara"
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: "obm-l"
> > >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma
> definitiva.
> > >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300
> > >
> > > > Ola Pessoal desta
> > > > lista ... OBM-L,
> > > >
> > > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto
> aqui nesta lista - se nao
> > >me
> > > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo
> (GUGU), em uma forma menos
> > >geral.
> > > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.
> > > >
> > > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e
> um irracional algebrico.
> > > > Definimos a sequencia :
> > > >
> > > > A(1) = T
> > > > A(N+1) = T^A(N)
> > > >
> > > > Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a
> afirmacao : "Existe N, N
> > > > suficientemente grande, tal que A(N) e
> algebrico". Voce consegue provar
> > >ou
> > > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e
> possivel aplicar, DIRETAMENTE, o
> > > > teorema de Gelfond.
> > > >
> > > > Um Abraco a Todos
> > > > Paulo Santa Rita
> > > > 3,1242,170505
> > > >
> > > >
> > >Oi, Paulo:
> > >
> > >Se lim A(n) existe e é igual ao racional r, então
> lim A(n+1) = r.
> > >Portanto, teremos: r = t^r ==>
> > >t = r^(1/r) = algébrico ==>
> > >contradição, pois estamos supondo que t é
> transcendente.
> > >
> > >Logo, ou lim A(n) não existe ou existe mas é
> irracional.
> > >
> > >Assim, a sentença:
> > >lim A(n) é racional ==> A(N) é algébrico para
> algum N suficientemente
> > >grande
> > >é verdadeira, já que a sua premissa é falsa.
> > >
> > >Era isso o que você tinha em mente?
> > >
> > >[]s,
> > >Claudio.
> >
> 

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