Re: [obm-l] Re: [obm-l] módulos projetivos

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Ok Meu caro Ronaldo:

Problema:
 Mostre que um A-módulo P é projetivo se, e só se
existe uma família {x_j} de elementos em P e
homomorfismos {f_j : P --> A} tais que para todo x em
P tem-se: 
x = soma[f_j(x).x_j] , onde a sequencia {f_j(x)} é
quase nula.

Obs.: 1) j estah em conjunto de índices J qualquer!
      2) f_j(x) quer dizer o homo. f_j aplicado em x.

Solução: 

|==>| Seja P um sonando direto de A-mód. livre L com
base {e_i}. Tomemos f:P --> L e g:L --> P como sendo a
inclusão de P em L e a projeção de L sobre P,
respectivamente. Se x estah em P, então f(x) pode ser
expresso como uma soma finita sum{t_i*e_i} (onde os
t_i pertencentes a A são unicamente determinados para
cada x!!!). Daí definimos f_i(x) = t_i e x_i = g(e_i)
(observe que os f_i são homomorfismos de P em A e que
os f_i(x) formam uma seq. quase nula!!!). Então:

x = g(f(x)) = g(sum{t_i*e_i}) = sun{[t_i]*g(e_i)} =
sum{f_i(x)*x_i}.
Isto prova a ida do nosso problema. 

|<==| Agora seja L um módulo livre com base {e_i} e
definamos g:L --> P por g(e_i) = x_i. Defina também
f:P --> L por f(x) = sum{f_i(x)*e_i}. Daí temos que:
g(f(x)) = g(sum{f_i(x)*e_i}) = sum{f_i(x)*g(e_i)} =
sum{f_i(x)*x_i} = x, ou seja, gof(x) = x, para todo x
em P. Donde temos que a sequência exata

          0 --> Nuc(g) --> L ---> P --> 0

cinde e, portanto P é um somando direto um módulo
livre, o que nos garante que ele é projetivo.

E isso conclui a solução do nosso problema.

Meu caro Ronaldo, como vc deve ter observado, tem
alguns detalhes aí que valem a pena ser verificados.

Sem mais, éder.


--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> escreveu:
> >Consegui resolver!!!
> 
>    Oi Éder.
>      Gostaria de ver sua solução.
> 
> []s   Ronaldo L. Alonso
> 
> >obrigado àqueles que tentaram. Caso alguém queira a
> >solução, é soh avisar que posso colocar aqui
> depois.
> >gratoi, éder.
> 
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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