Re: [obm-l] Problemas de Algebra

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 13, 2005 at 01:48:56PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
>    Oi Claudio,
>    Qual e' esse problema 26 da secao 2.5 ?
>    Gostei muito do exemplo do Nicolau. Eu pensei em alguns outros depois de
> responder a mensagem, por exemplo, um grupo G gerado por a e b com b de ordem
> 2 e sem outras relacoes. O conjunto H dos elementos cuja representacao
> simplificada e' uma palavra formada pelas letras a, a^(-1) e b tal que o
> numero de a's nas suas k primeiras letras e' sempre maior ou igual ao numero
> de a^(-1)'s, para todo k, e' um subgrupo e aHa^(-1) esta' estritamente
> contido em H - senao b=axa^(-1) para algum x em H, mas x tem que ser
> a^(-1)ba, que nao esta' em H.

Faltou dizer que o número total de a's é 0 (onde a^(-1) conta como -1 a).

Uma fábrica geral de exemplos é a seguinte.
Comece escolhendo um grupo H0 (que será o H)
e um automorfismo f entre H0 e um subgrupo próprio H1.
Considere o conjunto H0 x Z e defina a relação de equivalencia
(h1,n1) ~ (h2,n2) se e somente se h1 = f^(n2-n1)(h2), n2 >= n1 ou
h2 = f^(n1-n2)(h1), n1 >= n2.
Seja HZ o quociente de H0 x Z por ~.
Podemos identificar naturalmente H0 com {(h,0) em HZ}
e definir f: HZ -> HZ por f((h,n)) = (h,n+1).
Defina ainda um produto iem Hz por (h1,n)*(h2,n) = (h1*h2,n),
assim HZ é um grupo e f um automorfismo externo levando H0
em um subgrupo próprio H1. Podemos definir G como
o produto semidireto G = HZ :f Z. Mais precisamente,
os elementos de G são da forma (h,m) = h*g^m, h em HZ, m em Z,
e g é um elemento novo. A multiplicação em G é determinada por
g*h = f(h)*g. Assim HZ é um subgrupo de G e f passa a ser
uma conjugação em G.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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