Re: [obm-l] Problemas de Algebra

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 13.05.05 13:48, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Oi Claudio,
> Qual e' esse problema 26 da secao 2.5 ?

Provar que se um grupo abeliano possui subgrupos de ordens m e n, entao ele
possui um subgrupo cuja ordem eh mmc(m,n).

Isso eh facil de provar (usando apenas o teorema de Lagrange e a formula
|HK| = |H|*|K|/|H inter K|, onde H e K sao subgrupos) se m e n sao primos
entre si ou se os subgrupos de ordens m e n sao ciclicos.

Eu conheco uma demonstracao do caso geral que usa o teorema de Sylow:
se p^k || |G| entao G tem um subgrupo de ordem p^k.
Assim, se |H| = m e |K| = n, entao para cada potencia de primo p^k tal que
p^k || mmc(m,n), tome o subgrupo A_p de H ou K, conforme o caso, tal que
|A_p| = p^k. O subgrupo desejado eh Produto(p | mmc(m,n)) A_p.

Mas o que o livro pede eh uma demonstracao que nao use nenhum resultado mais
profundo do que os dois que eu mencionei acima e nem mesmo alguma construcao
de grupo quociente.

> Gostei muito do exemplo do Nicolau. Eu pensei em alguns outros depois de
> responder a mensagem, por exemplo, um grupo G gerado por a e b com b de ordem
> 2 e sem outras relacoes. O conjunto H dos elementos cuja representacao
> simplificada e' uma palavra formada pelas letras a, a^(-1) e b tal que o
> numero de a's nas suas k primeiras letras e' sempre maior ou igual ao numero
> de a^(-1)'s, para todo k, e' um subgrupo

Entao, pelo que eu entendi, ababa^(-1) estah em H mas (ababa^(-1)) =
aba^(-1)ba(-1) nao estah. Eh isso mesmo?

> e aHa^(-1) esta' estritamente
> contido em H - senao b=axa^(-1) para algum x em H, mas x tem que ser
> a^(-1)ba, que nao esta' em H.

> Outro exemplo e' G={bijecoes crescentes de R
> em R} e H={f(x) em G tal que lim (x->+oo) f(x)/x existe e e' racional
> positivo}. Se a=a(x)=x^3, afa^(-1)(x)=f(x^(1/3))^3, e, se f(x)/x tende a c
> racional positivo entao afa^(-1)(x)/x tende a c^3, que tambem e' racional
> positivo. Por outro lado, f(x)=2x pertence a H, mas se afa^(-1)(x)=2x entao
> f(y)=2^(1/3).y, que nao pertence a H. Eu tentei um pouco achar um exemplo
> natural com G={bijecoes de N}, mas so' consegui versoes artificiais de
> exemplos anteriores...

Esse eh bem legal!

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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