[obm-l] RES: [obm-l] questão do Munkres

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Eder
Acho que o livro esta certo e a integral eh zero. Sem formalizar muito, dado
que estou sem tempo agora, veja que podemos particionar [0,1]x[0,1] em um
número finito de retangulos de modo que muitos deles nao intersectem a reta
x=y . A soma inferior para qualquer particao eh de fato zero. A soma
superior de uma particao resume-se aa area dos retangulos que intersectam a
reta x=y. Escolhendo-se particoes nas quais os retangulos que intersectam a
reta x=y tenham area  arbitraiamente proximas de zero, podemos fazer com que
a soma superior seja tambem arbitrariamente proxima de zero. Podemos, por
exemplo, escolher particoes mantendo fixo o numero de retangulos que
intersectam a reta x=y e fazendo com que um dos lados destes retangulos
tenda a zero. Assim, o infimo do conjunto das somas superiores eh zero,
igual portanto ao supremo do conjunto das somas inferiores. A integral,
portanto, eh zero.
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Lista OBM
Enviada em: segunda-feira, 9 de maio de 2005 16:35
Para: Lista OBM
Assunto: [obm-l] questão do Munkres


Gostaria que vocês dessa uma olhada se o problema
abaixo, tirado do livro do James R. Munkres (Analysis
on Manifolds) estah errado.

Seja f:[0,1]x[0,1] --> R uma função definida por:
f(x,y) = 0 se x<>y e f(x,y) = 1 se x=y. Prove que f é
integrável sobre [0,1]x[0,1].

Digo isso porque qualquer partição P que tomarmos para
[0,1]x[0,1], tem-se que s(f,R) = 0 e S(f,R) = 1, para
todo sub-retângulo R da partição P. Isso significa que
a integral inferior de f vale 0 enquanto a superior
vale 1 (sobre [0,1]x[0,1], é claro!).

Obs.: Esta é a questão 3 da pág. 90. 
  
grato desde já, éder.


	
	
		
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