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[obm-l] Re:[obm-l] questão do Munkres

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 9 May 2005 16:34:31 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] questão do Munkres
> Gostaria que vocês dessa uma olhada se o problema
> abaixo, tirado do livro do James R. Munkres (Analysis
> on Manifolds) estah errado.
>
> Seja f:[0,1]x[0,1] --> R uma função definida por:
> f(x,y) = 0 se x<>y e f(x,y) = 1 se x=y. Prove que f é
> integrável sobre [0,1]x[0,1].
>
> Digo isso porque qualquer partição P que tomarmos para
> [0,1]x[0,1], tem-se que s(f,R) = 0 e S(f,R) = 1, para
> todo sub-retângulo R da partição P. Isso significa que
> a integral inferior de f vale 0 enquanto a superior
> vale 1 (sobre [0,1]x[0,1], é claro!).
>
Eu acho que, para cada eps > 0, existe uma partição P tal que S(f,P) < eps.
Por exemplo, tome n > 1/eps e a partição de [0,1]x[0,1] em n^2 quadradinhos de lado 1/n. Então, em n^2 - n desses quadradinhos, teremos f(x,y) = 0. Somente nos n quadrados cuja união contém a diagonal de [0,1]x[0,1] teremos f(x,y) = 1, para algum (x,y) no quadradinho.
Logo, S(f,P) = (1/n^2)*((n^2 - n)*0 + n*1) = 1/n < eps.
Ou seja, f é integrável e a integral vale zero.
 
[]s,
Claudio.
 
> Obs.: Esta é a questão 3 da pág. 90.
>
> grato desde já, éder.
>
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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