[obm-l] Re: [obm-l] Progressão Ge ométrica.

Acho que faltou dizer que o triângulo é retângulo (por exemplo).

Nesse caso, os lados sao b, bq e bq^2 (b = medida do menor cateto e q é a razão, que deve ser maior do que 1).

Pitágoras implica que 1 + q^2 = q^4 ==>

q = raiz((1 + raiz(5))/2)

Mais geralmente, se os lados forem 1 <= q <= q^2 e o ângulo entre os lados de medidas 1 e q for t (0 < t < pi), então a lei dos cossenos resulta em:

f(q) = q^4 - q^2 + 2cos(t)q - 1 = 0.

Como q >= 1, teremos:

f(1) = 2cos(t) - 1

f'(q) = 4q^3 - 2q + 2cos(t) >= 0, se q >= 1.

Repare que q = 1 <==> o triângulo é equilátero <==> t = pi/3.

Em geral, teremos:

cos(t) <= 1/2 ==>

0 < t <= pi/3 ou 2pi/3 <= t < pi ==>

f(1) <= 0 ==>

f(q) terá uma (única) raiz maior ou igual a 1.

No caso de um t qualquer, acho que o melhor é usar a fórmula das raízes da equação do 4o. grau e calcular esta raiz.

Se cos(t) > 1/2, então f(1) > 1 e, portanto, f(q) não terá raízes maiores do que 1. Ou seja, nesse caso o problema não terá solução.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Mon, 9 May 2005 10:51:13 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] Progressão Ge ométrica.

> On Sun, May 08, 2005 at 03:15:40PM -0300, Daniela Yoshikawa wrote:

> > 1) Se o produto dos (2n+1) termos de uma PG é P, então o seu termo central é:

> P^(1/(2n+1)). Basta para isso ver que se o termo central é c, então o produto

> de dois termos igualmente distantes do termo central é c^2.

> > 2) Os lados de um triângulo estão em PG. Obter a razão.

> Este é impossível. A razão pode ser qualquer coisa no intervalo aberto

> ((sqrt(5)-1)/2, (sqrt(5)+1)/2). Este dois valores vêm de resolver

> as equações x^2+x=1 e x^2=x+1, respectivamente, casos limites

> da desigualdade triangular.

> []s, N.

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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