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Re: [obm-l] Mais Isomorfismos



 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data: Mon, 9 May 2005 09:59:14 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Mais Isomorfismos
> On Fri, May 06, 2005 at 10:31:32PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:
> > > On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > >> Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos
> > >> complexos?
> > >
> > > Sim, ambos s�o Q-espa�os vetoriais de mesma dimens�o (card(R)).
> >
> > Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com
> > mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh
> > na existencia das bases?
>
> Em geral, voc� precisa do axioma da escolha para provar que espa�os vetoriais
> de dimens�o infinita t�m bases. Nestes casos particulares (C e R como Q-e.v.)
> eu sei que voc� precisa de alguma vers�o do axioma da escolha. � consistente
> com ZF (teoria dos conjuntos usual sem o axioma da escolha) que todo
> subconjunto de R seja Lebesgue mensur�vel. No entanto � f�cil, dada uma base
> para R como Q-e.v., construir um subconjunto A de [0,1] tal que uma uni�o
> disjunta de uma quantidade infinita e enumer�vel de transladados de A
> cont�m [b,c] e est� contida em [a,d], a
>
Noutro dia, eu mandei pra lista um problema onde uma quantidade enumer�vel de transladados de um subconjunto A de [0,1] cont�m (e portanto � igual a) toda a reta mas, no caso, acho que n�o dava pra construir o A explicitamente.
 
> Por outro lado eu n�o sei dizer se � poss�vel construir o isomorfismo
> que voc� pediu inicialmente sem o axioma da escolha.
>
E no caso enumer�vel, ser� que d�?
Por exemplo, existe alguma bije��o f: (Z,+) -> (Z,+)x(Z,+) tal que:
f(x+y) = f(x)+f(y)?
E se existe alguma, ela pode ser exibida?
 
> Quanto a sua outra pergunta, sejam V1 e V2 dois espa�os vetoriais sobre
> o mesmo corpo K. Sejam B1 e B2 bases de V1 e V2, respectivamente. Seja
> f: B1 -> B2 uma bije��o. Ent�o podemos estender f de forma unica a uma
> transforma��o linear F: V1 -> V2 e n�o � dif�cil provar que F � isomorfismo.
>
Eu me lembro de j� ter visto uma constru��o desse tipo usando o lema de Zorn num teorema sobre a extens�o de um isomorfismo entre corpos. Vou dar uma pesquisada.
 
> Falando neste tipo de coisa, quase todos os espa�os vetoriais de dimens�o
> infinita que aparecem em an�lise funcional t�m dimens�o (no sentido alg�brico)
> igual a c, o cardinal de R.
 
Imagino que sejam espa�os de fun��es reais ou complexas.
 
Um outro teorema bem mais dif�cil e profundo
> diz que quaisquer dois espa�os de Banach de dimens�o infinita e separ�veis
> s�o homeomorfos. O por�m � que o isomorfismo como espa�o vetorial � muito
> descont�nuo e o homeomorfismo n�o � linear. Assim dois espa�os de Banach
> em geral (com hip�teses bem razo�veis) s�o isomorfos no sentido alg�brico
> e s�o homeomorfos, mas nem por isso s�o isomorfos como espa�os de Banach.
>
Isso ainda � muito avan�ado pra mim...
 
Obrigado pelas explica��es.
 
[]s,
Claudio.