Re: [obm-l] i^2 = -1 ??

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno,

E otimo que voce saiba tao prontamente que as coisas sao assim. Comigo foi 
diferente. Eu demorei muito pra acreditar nisso ... O argumento decisivo foi 
um artigo do Godel, que eu li alguns anos atras.

Leia o livro que indiquei. Voce vai realmente se enriquecer muito, ter 
respostas a todas as perguntas que formulou aqui e saber efetivamente como e 
feito Matematica de qualidade. Alem disso, nao sera mais iludido por 
historietas e bravatas tao comuns neste meio.

A definicao i=sqrt(-1) NAO E INCORRETA, talvez, seja mal formulada... O 
numero complexo a=(0,1) tem a propriedade : a^2=(-1,0) e identificamos 
(-1,0)=-1. Assim, e "certo" falar que em C há um numero que é a raiz 
quadrada de -1 DEVIDO A IDENTIFICACAO PREVIA que faz com R esteja imerso em 
C. Disse que talvez seja mal formulada. Falei isso porque supondo i=sqrt(-1) 
somos levados a supor que podemos operar com sqrt(-1) como operamos com 
qualquer RAIZ DE NUMERO REAL POSITIVO, o que e falso : as propriedade valem 
para radicando positivo. Veja abaixo :

i=sqrt(-1)=> i^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt(1)=1 ... absurdo !

Portanto, i=sqrt(-1) e uma interpretacao aceitavel, mas nao podemos tratar 
essa raiz como se fosse a raiz de um numero real positivo.

Agora, vou dizer algo que voce ja sabe e todos vao confirmar : as diversas 
exposições de uma teoria sao equivalentes se levam aos mesmos resultados... 
O que e axioma em uma vira teorema em outra e vice-versa. Escolher uma 
exposicao em particular e muito mais uma questao didatica e de gosto pessoal 
( subjetiva ) que cientifica, pois e o professor que sabera determinar qual 
caminho é mais adeguado a turma que ele tem.

Agora vou dizer uma coisa que talvez voce nao saiba e com a qual nem todos 
vao concordar : cada exposicao de uma mesma teoria com pressupostos 
diferentes sao possiveis janelas para a imersao desta teoria em outras, 
provavelmente mais amplas ... Isto e uma questao de "feeling" ... colocando 
as formas de um "certo jeito" fica mais inferir possiveis ampliacoes. Segue 
um exemplo trivial :

A soma dos termos de uma PA e o seguinte :

Sn = [ N(A1+An) ]/2

Mas podemos colocar igualmente assim :

Sn = [N(A1 + A1+(N-1)*r]/2=[N(2*A1 + (N-1)*r)]/2=N*A1+[N*(N-1)*r]/2=
A1*Binom(N,1) + r*Binom(N,2)=A1*Binom(N,1) + (A2-A1)*Binom(N,2)

Aqui, Binom(N,P)=Numero binomial de numerador N e denominador P. Se N<P 
entao Binom(N,P)=0. As duas exposicoes sao equivalentes e levam aos mesmos 
resultados, mas qual delas voce acha que sugere uma generalizacao natural ? 
Claramente : a segunda !

De fato, se A1, A2, A3, ... e uma progressao aritmetica de segunda ordem 
(PA2), isto e, se A2-A1, A3-A2, A4-A3, ... e uma PA (PA1) entao :

Sn=A1*Binom(N,1) + (A2-A1)*Binom(N,2) + (A3 -2*A2 + A1)*Binom(N,3)

E a formula da soma para os termos de uma PA2 (Prove isso, e trivial. E a 
seguir, generalize ). Claramente que voce pode generalizar para o caso de 
uma PAn, isto e, uma progressao aritmetica de ordem N. Voce portanto 
descobriu "a cara" do polinomio, nao precisando mais portanto resolver 
sistemas para encontrar o polinomio soma ( Note que o Conway, no "Livro dos 
Numeros", nao conhece esse resultado e muitas outras pessoas tambem. Talvez 
voce queira publicar um artigo sobre isso. )

Mas, mantendo-se fiel ao tema, quis mostrar objetivamente o que falei, vale 
dizer, que as diversas maneiras de expor um mesmo tema, no dominio mais alto 
da investigacao, sao, em verdade, janelas que se abrem para possiveis 
ampliacoes e descobertas. E necessario "feeling", isto e, intuicao, e nao 
logica ou raciocinio, para voce identificar a colocacao que "sinaliza" a sua 
propria superacao ...

Assim, e bom voce saber as diversas maneiras de olhar um mesmo tema !

Bom, deixa eu ir que o trabalho me chama.
Um Abracao pra voce !

E com os melhores
votos de paz profunda,
sou,
Paulo Santa Rita
3,1011,030505

>From: "Bruno Bonagura" <bbonagura@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] i^2 = -1 ??
>Date: Tue, 3 May 2005 02:25:32 -0300
>
>Sei muito bem que nada na matemática é inventado, apenas não encontrei 
>outro
>termo melhor para formular minha pergunta. Sei também que se passaram 
>muitos
>séculos de estudo para teoria completa de numeros complexos ser atingida.
>Apenas quero saber a ordem em que as coisas vieram aparecendo durante o
>desenvolvimento da teoria. De acordo com as respostas que obtive cheguei a
>conclusão que a teoria se originou na álgebra pura e não na geometria como
>eu cheguei a imaginar. Obrigado pela sua resposta e a de todos os demais!
>
>E tenho mais uma dúvida.
>Dizem que a definição i = sqr(-1) é incorreta pois leva a uma falácia, mas
>ja vi em muitos sites, em livros famosos e até em provas de vestibulares
>essa definição. Ela é realmente incorreta ?
>
>Obrigado
>Bruno Bonagura
>
>----- Original Message -----
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, May 02, 2005 9:58 AM
>Subject: RE: [obm-l] i^2 = -1 ??
>
>
> > Ola Bruno,
> >
> > Ninguem INVENTOU os números complexos : os Matematicos - sobretudo
>italianos
> > - do Renascimento foram os primeiros que foram obrigados a considera-los
>com
> > maior seriedade quando estudaram as equacoes do terceiro grau ... Nestas
> > equacoes, quando previamente sabemos que existem tres raizes reais, a
> > aplicacao da formula que eles haviam descoberto leva a extracao de 
>raizes
> > quadradas de números negativos, isto e, a numeros complexos.
> >
> > Mas ha referencias anteriores sobre eles.
> >
> > O Gauss, com justica, gozava de grande prestigio na Europa e a sua tese
> > doutoral, o Teorema Fundamental da Algebra, usava com naturalidade estes
> > "numeros imaginarios", o que levou os matematicos de entao a aceitarem
>mais
> > tranquilamente estes numeros. Digamos portanto que os Matematicos
>italianos
> > DESCOBRIRAM a necessidade de considerar seriamente estes numeros e Gauss
> > consolidou o uso deles.
> >
> > Como quase tudo em Matematica, as grandes ideias nao surgem de uma
> > formalizacao previa ... As pessoas fazem experiencias numericas,
> > verificacoes e so posteriormente, em geral, muito posteriormente, surge 
>a
> > formalizacao. Os objetos matematicos EXISTEM no mundo proprio deles
> > independente de alguem pensar neles ou nao. NENHUM MATEMATICO INVENTA
>ALGUMA
> > COISA,ou, se muito, "se inventa, sao coisas sem importancia" (Penrose) .
>Ele
> > tao somente DESCOBRE.
> >
> > O contato com esse mundo, claramente, envolve uma alta dose de
> > subjetividade, pois cada um pensa ao seu modo, mas, em geral, envolve
>muitas
> > experimentacoes, muitos erros, muitas verificacoes numericas e 
>postulacoes
> > mal sucedidas. A formalizacao surge muito depois, em geral feita por
> > outra(s) pessoas. E muito provavelmente e um processo iniciatico, onde o
> > emocional e fundamental.
> >
> > Assim, ninguem teve de imediato a ideia  cintilante que deveria criar um
> > numero "i" tal que i^2=-1 e, a seguir, apresentou um conjunto de axiomas
>que
> > resolveria todos os problemas associados. Para chegar a este nivel
> > passou-se, pelo menos, 2 seculos, só para voce ter uma leve ideia de 
>como
>as
> > coisas realmente sao.
> >
> > As exposicoes didaticas e as demonstracoes matematicas, por inumeras
>razoes,
> > precisam ser sucintas e passam a falsa ideia de uma coisa acabada,
>completa.
> > Em verdade, procedendo assim, eles escondem uma imensa hipocrisia, pois
> > aquilo que estudamos foi consolidado ao longo de um extenso caminho,
> > pontilhado com contribuicoes diversas de diversos Matematicos. E por 
>isso
> > que e MUITO IMPORTANTE o estudante ler um pouco sobre a historia do
> > desenvolvimento das ideias, pois assim ele nao tera duvidas como estas 
>que
> > voce expoe e aumentara significativamente a sua compreensao de contexto 
>e
> > sensibilidade matematica.
> >
> > O FORMALISMO, mesmo poderando a sua importancia na faculdade de permitir
> > apresentar de forma sucinta e breve um resultado, e, didaticamente, um
> > crime, pois omite o desenvolvimento das ideias e passa uma impressao
>errada
> > de como se faz matematica; e tambem um fracasso filosofico, pois assim
>Godel
> > mostrou. Leia do "Livro do Boyer, Historia da Matematica", e todas as 
>suas
> > duvidas serao esclarecidas e voce fara uma grande aquisicao pra sua
> > biblioteca particular.
> >
>
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