Re: [obm-l] autovalores , autovetores

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:

> Obrigado Claudio.
> Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
> autovalores são iguais a 0."  veja, por gentileza, se o meu argumento
> esta correto:
> 
> Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
> A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
> onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
> Como A tem posto 1 e os autovalores sao l.i só se pode ter um autovalor
> diferente de 0.
>
Essa expressao para A nao me parece obvia a priori.
Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.?
Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem
distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).

> Voce provaria de outra maneira?
>
O nucleo de A eh um subespaco de R^n.
Posto(A) = 1 ==> dim(Nucleo(A)) = n-1 (teorema do nucleo e da imagem)
Logo, Nucleo(A) tem uma base (de fato, uma infinidade de bases) com n-1
vetores.
Para qualquer vetor v dessa base (de fato, qualquer vetor do nucleo), vale
Av = 0 = 0v, ou seja, cada vetor da base eh um autovetor associado ao
autovalor 0.
Como a base tem n-1 vetores L.I., o autovalor 0 tem multiplicidade >= n-1.
O n-esimo autovetor eh u (ou qualquer multiplo escalar nao nulo de u), com
autovalor associado igual a |u|^2 > 0 (a menos que u = 0, mas nesse caso A
seria a matriz nula).
Logo, a multiplicidade do autovalor 0 eh n-1.
Se A = 0, entao 0 eh autovalor de multiplicidade n e o auto-espaco associado
eh todo o R^n.
 
[]s,
Claudio.

> Abraços
> 
> 
> claudio.buffara wrote:
> 
>> Oi, Niski:
>> 
>> Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n.
>> Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j)
>> (produto da i-ésima e j-ésima componentes de u).
>> Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u.
>> Logo, u*u' tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0.
>> Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u.
>> Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a:
>> u(1)^2 + ... + u(n)^2 = |u|^2.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> De:  owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Para:  obm-l@mat.puc-rio.br
>> 
>> Cópia:  
>> 
>> Data:  Fri, 29 Apr 2005 15:22:27 -0300
>> 
>> Assunto:  [obm-l] autovalores , autovetores
>> 
>>> Pessoal, como eu resolvo este problema:
>>> 
>>> "Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u
>>> pert R^n"
>>> (notacao: u' = "u transposto")
>>> 
>>> Sem precisar recorer a resolver equacoes genericas escabrosas (isto é
>>> sem recorrer ao artificio das raizes da eq. det|A - cI| = 0)
>>> 
>>> 
>>> Obrigado.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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