[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?Q=2E=20IME=20=2D=20Fun=E7=E3o=20=2D=20ja=20foi=20comentada?=

[caiosg@xxxxxxxxx]

eu tava olhando os assuntos um pouco antigos e vi uma questao comentada
do IME de funções, e reparei que a questao postada foi postada com o enunciado
escrito diferente do original. Aí vai o enunciado original, e com isso a
função fica BIJETORA sim.

Enunciado:
Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida
por:

h: R² -> R²
  (x,y) |->  (x³, x  - f(y) ) 

Verifique se h é bijetora e calcule g, tal que
goh(x,y) = (x,y)
hog(x,y) = (x,y)  para todo x, y pertencente a R.



Solução, vamos la:
Se h(x1,y1) = h(x2,y2) => (x1³ , x1-f(y1)) = (x2³, x2 - f(y2))
                       =>  x1³ = x2³  e x1-f(y1)= x2-f(y2)
                           x1 = x2    e   f(y1)=f(y2) => y1=y2 pois f é
bijetora  =>   (x1,y1) = (x2,y2)

Logo h é Injetora!



h também é sobrejetora pois se (a,b) pertence a R² => 
existe um x? tal que x? = (a)^1/3 e existe y? tal que f(y?) = (a)^1/3 -
b  (pois f é sobrejetora)

entao existe (x?,y? ) tal que h(x?, y?) = (a,b)


logo h é bijetora



seja g(x,y) = (g1(x,y) , g2(x,y) )  

 hog(x,y) = (x,y)  => h(g1(x,y),g2(x,y))=(x,y)
                     => g1³(x,y) = x => g1(x,y) = (x)^1/3
                (x)^1/3 - f(g2(x,y)) = y => f(g2(x,y))=(x)^1/3 -y
                                       => g2(x,y) = f^-1 ((x)^1/3-y)


Logo:  g(x,y) = ( (x)^1/3 , f^-1 ( (x)^1/3 - y) ) 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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