[obm-l] Re: [obm-l] questão de geo

["Brunno Fernandes" <profbrunno@xxxxxxxxxx>]

Ola Daniel tudo bem??
Obrigado pela força

Nesta questão  o gabarito indica
[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4)

Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo
Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim você
pode já ver se tem algum erro
Um abraço Daniel
Do amigo
Brunno


----- Original Message -----
From: <kleinad@webcpd.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM
Subject: Re: [obm-l] questão de geo


Oi,
Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte:

De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no
total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor
das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a
menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal,
quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se
estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira.

Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos
inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos
distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções.

Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se
interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2
interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema,
devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a
mais. Assim, o número máximo de interseções é

d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) =
= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1].

OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais
saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1.
OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono!

[]s,
Daniel

Brunno Fernandes (profbrunno@uol.com.br) escreveu:
>
>Ola pessoal tudo bem?
>Poderiam me ajudar nesta questão,
>
>Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um
>poiligono convexo de n lados
>
>Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de
>intersecção dos prolongamentos das diagonais
>
>Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard  de
>Alencar Filho
>um ótimo livro
>Um abraço
>Do amigo
>Brunno

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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