Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de geo

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Oi,
O gabarito está respondendo à questão "quantas interseções acontecem entre
diagonais acontecem dentro do polígono, excetuando-se, inclusive, as
interseções nos vértices" e eu respondi à questão "quantas interseções
acontecem no total, incluindo-se as dos prolongamentos das diagonais e
incluindo-se as que ocorrem nos vértices".

OK?

[]s,
Daniel

Brunno Fernandes (profbrunno@uol.com.br) escreveu:
>
>Ola Daniel tudo bem??
>Obrigado pela força
>
>Nesta questão  o gabarito indica
>[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4)
>
>Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo
>Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim você
>pode já ver se tem algum erro
>Um abraço Daniel
>Do amigo
>Brunno
>
>
>----- Original Message -----
>From:
>To:
>Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM
>Subject: Re: [obm-l] questão de geo
>
>
>Oi,
>Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte:
>
>De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no
>total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor
>das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a
>menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal,
>quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se
>estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira.
>
>Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos
>inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos
>distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções.
>
>Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se
>interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2
>interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema,
>devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a
>mais. Assim, o número máximo de interseções é
>
>d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) =
>= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1].
>
>OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais
>saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1.
>OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono!
>
>[]s,
>Daniel
>
>Brunno Fernandes (profbrunno@uol.com.br) escreveu:
>>
>>Ola pessoal tudo bem?
>>Poderiam me ajudar nesta questão,
>>
>>Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um
>>poiligono convexo de n lados
>>
>>Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de
>>intersecção dos prolongamentos das diagonais
>>
>>Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard  de
>>Alencar Filho
>>um ótimo livro
>>Um abraço
>>Do amigo
>>Brunno
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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