[obm-l] OBM Nivel Universitário - 2a. fase - 2004

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Olá
Alguém aí sabe onde é que eu posso encontrar o gabarito da 2a. fase de 2004 da olimpiada universitaria?
Eu (acho que) resolvi um exercício, mas não consegui verificar. Será que vocês poderiam dar uma olhada na resolução?


A função derivável f: R --> R tem as seguintes propriedades:
(a) f(0) = 0 e f(2) = 2.
(b) Para todo a real não nulo, a reta tangente ao gráfico de f no ponto
P = (a, f(a)) corta o eixo x em um ponto A, e o eixo y em um ponto B,
de tal forma que A é ponto médio do segmento BP.

Calcule f(3).



Fiz o seguinte:
Seja T(x) a função que representa a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Então:
T(x) = f(a) + f'(a) * (x - a)
Então podemos verificar que as coordenadas dos pontos A e B são:
A = (- (f(a) / f'(a)) + a , 0);
B = (0, f(a) - a*f'(a));

Como A é médio de BP, então temos que:
a / 2 = - ( f(a) / f'(a) )
(2f(a) - a*f'(a) ) / 2 = 0

Então vem:
f'(a) / f(a) = 2 / a

Mas f'(a) / f(a) = [ ln |f(a)| ]' e 2 / a = [2ln|a|]' ==> ln
|f(a)|  =  2 ln |a| + C ==>| f(a) |  =  e^(2 *
ln |a|) * e^C
Seja k = e^C. Então  | f(a) | = k*|a|^2
Logo, | f(a) | = k * a^2.

Mas como f(2) = 2, temos que | 2 | = k * 2^2 ==> k = 1/2.
Como f(x) é contínua (pois é derivável) e é crescente estrita, então f(3) > f(2) = 2 > 0.
Então f(3) = 1/2 * 3^2 ==> f(3) = 9/2.



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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0