Re: [obm-l] Alguém pode resolver ?

[Americo Junior <junior.americo@xxxxxxxxx>]

01) Nas águas paradas de um lago, Marcelo rema seu barco a 12km por 
hora. Num certo rio, com o mesmo barco e as mesmas remadas, ele percorre 
12km a favor da corrente e        8 km contra a corrente, num tempo 
total de 2 horas. Qual era a velocidade do rio, quanto tempo ele levou 
para ir e quanto tempo para voltar ?

Resolução:

O valor absoluto da velocidade do barco é 12 km/h.
Vamos adotar o sentido da corrente do rio como positivo.
Primeiro o barco se moveu 12 km a favor da corrente, neste caso a 
velocidade do rio foi a favor do movimento.

12 + Vr = 12 / T1   ( 1 )

Depois ele se movimentou 8 km em sentido oposto ao da corrente, aqui a 
velocidade foi contra o movimento.

12 - Vr = 8 / T2   ( 2 )

Sabemos que o intervalo de  tempo do percurso foi de 2 horas.

T1 + T2 = 2   ( 3 )

De ( 3 ) sabemos que T1 = 2 - T2
Somando ( 1 ) e ( 2 ) e fazendo a substituição para T1.

24 = 12 / (2 - T2)  + 8 / T2

Resultando numa equação de 2º grau.

24T2^2 - 44T2 + 16 = 0

Cujas raízes são 4/3 e 1/2.

Para cada uma destas raízes obtemos um T1 correspondente.

T2 = 4/3 h ---- > T1 = 2/3 h

T2 = 1/2 h ---- > T1 = 3/2 h

Substituindo os pares de tempo nas equações ( 1 ) e ( 2 ) obtemos 
valores para a velocidade do rio.

( i ) Quando T2 = 4/3 h e T1 = 2/3 h, obtemos Vr = 6 km/h

( ii ) Quando T2 = 1/2 e T1 = 3/2, obtemos Vr = - 4 km/h

Como adotamos o sentido da corrente como positivo a solução ( ii ) não 
se aplica.

Conclusão T1 = 2/3 h, T2 = 4/3 h e Vr = 6km/h





02) Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, 
custo de uma excursão. Todos contribuíram igualmente. Na última hora, 
dois alunos desistiram. Com isso, a parte  de cada um sofreu um aumento 
de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma ?

Resolução:

Vc tem N alunos e cada aluno pagou uma taxa T em reais totalizando 405 
reais.

T * N = 405    ( 1 )

Na última hora dois alunos desistiram, logo a taxa teve de ser aumenta 
de R$ 1,20 para que o montante de  R$ 405 diminuisse.

(A-2) * (T + 1,2) = 405    ( 2 )

De ( 1 ) sabemos que T = 405 / N

Substituindo em ( 2 ) e desenvolvendo

(N -2) * ( 405/N + 1,2) 405

(405 * N) / N + 1,2N - 810 / N -2,4 = 405

405 + 1,2N - 810 / N -2,4 = 405

Daí obtemos uma equação de segundo grau:

1,2N^2 - 2,4N -810 = 0

As raizes são 27 e -25.

Como não existe quantidade negativa de alunos o total de alunos é 27.

[]'s

Americo Junior



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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