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Re: [obm-l] Elemento Nilpotente

Oi, Carol:
 
Obrigado pela dica. Com ela consegui acabar a demonstração.
 
Fiz a construção padrão para usar o lema de Zorn (não sabia que era de Kuratowski também), colocando I(T) = União(J em T) para cada subconjunto totalmente ordenado T de S e concluindo que T é limitado superiormente por I(T), que é claramente um ideal.
Daí, pelo lema, S tem um elemento maximal P.
 
Como P pertence a S, x^n não está contido em P para nenhum n > 0.
Em particular, x não pertence a P.
 
Agora, sejam a, b elementos do anel tais que:
a não pertence a P   e   b não pertence a P.
Então, P está propriamente contido nos ideais (a) + P e (b) + P, de modo que estes ideais não pertencem a S (pois P é um elemento maximal de S) e, portanto, existem inteiros positivos m e n tais que:
x^m pertence a (a) + P   e   x^n pertence a (b) + P ==>
x^(m+n) = x^m*x^n pertence a ((a) + P)*((b) + P) = (ab) + P.
Além disso, como x é, por hipótese, um elemento não nilpotente, x^(m+n) <> 0 ==>
ab não pode pertencer a P pois, se pertencesse, teríamos que
x^(m+n) pertence a (ab) + P = P, uma contradição ==>
P é um ideal primo ao qual x não pertence ==>
contradição pois, por hipótese, x pertence a todos os ideais primos do anel. 
 
Conclusão: x tem que ser nilpotente.
 
***
 
Inicialmente, eu esperava uma solução mais simples, que não envolvesse algo tão poderoso como o lema de Zorn, uma vez que é fácil demonstrar a recíproca sem isso. Mas, pensando melhor, o enunciado fala em intersecção de todos os ideais primos e o anel é um anel comutativo qualquer, de modo que, pra acessar todos estes ideais (que podem existir em quantidade infinita e quem sabe até não enumerável em algum anel maluco cujos elementos são funções de algum tipo, por exemplo...), acho que só mesmo apelando pro axioma da escolha.
 
Como você pensou nessa solução?
 
***
 
Falando nisso, eu lembro de um problema que pedia pra provar que os ideais maximais do anel A de funções contínuas de [0,1] em R (com a soma e multiplicação usuais de funções) são justamente os conjuntos da forma:
M_a = {f em A | f(a) = 0}, para 0 <= a <= 1.
 
Quais são os ideais primos de A?
 
[]s,
Claudio.
 
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sun, 17 Apr 2005 19:48:01 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Elemento Nilpotente
> Olá, Claudio.
>  
> Tenho uma sugestão.
>  
> Tome x um elemento pertencente a todos os ideais primos de um anel comutativo.
> Suponha que x não seja nilpotente.
>  
> Seja S o conjunto dos ideais J que verificam a seguinte propriedade: x^n não pertence a J, se n > 0.
>  
> Mostre que S é ordenado (por inclusão) indutivo. Pelo lema de Zuratowski-Zorn, S tem um elemento maximal P.
>  
> Verifique que P é um ideal primo. Assim, obtemos uma contradição, pois P é um ideal primo ao qual x não pertence.
>  
> Logo, x é nilpotente.
>  
> []s
> Carol
----- Original Message -----
From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Sunday, April 17, 2005 7:12 PM
Subject: [obm-l] Elemento Nilpotente
>
> Como é que eu provo que se um elemento pertence a todos os ideais primos de um anel comutativo, então este elemento é nilpotente?
>  
> Obs: a recíproca também vale, mas esta eu consegui provar.
>  
> []s,
> Claudio.