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Re: [obm-l] Elemento Nilpotente
Title: Re: [obm-l] Elemento Nilpotente
Oi, pessoal:
O Gugu apontou um problema na demonstracao abaixo.
Quando eu olho pro conjunto S dos ideais J que nao contem nehuma potencia de x, nada impede que o unico elemento de S seja o ideal (0).
Isso implica que P = elemento maximal de S = (0).
O problema eh que, no fim, eu concluo que P eh um ideal primo.
Se o anel for um dominio, tudo bem, pois o ideal (0) eh um ideal primo de um dominio e a demonstracao fica perfeita.
No entanto, se o anel tiver divisores de zero, (0) nao serah um ideal primo.
Assim, acho que preciso mudar a demonstracao: ao inves de concluir que P eh um ideal primo, eu tenho que concluir que "P = (0) ou P eh um ideal primo".
Com isso, mesmo tomando a e b tais que ab = 0, eu chego em:
x^(m+n) pertence a (ab) + P, que serah igual a (0) se P = (0).
Isso tambem eh uma contradicao, pois x eh nao-nilpotente por hipotese e a demonstracao fica salva (acho eu!)
***
De qualquer forma, gostaria de ter uma demonstracao separada de que, no caso de um anel com divisores de zero, algum dos J eh necessariamente nao trivial ou seja, se x for nao-nilpotente, existe algum ideal nao nulo (nao necessariamente primo) que nao contem nenhuma potencia de x.
Alguem tem alguma ideia?
Por exemplo, em Z_n (n composto), os ideais primos sao da forma ([p]), onde p eh um dos fatores primos de n.
Se n for livre de quadrados, entao Z_n nao terah elementos nilpotentes.
Caso contrario, pondo n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, com algum dos ai >= 2, os elementos nilpotentes de Z_n serao os [m], tais que m eh um divisor proprio de n que seja divisivel por p1*p2*...*pr.
Como os ideais primos de Z_n sao ([p1]), ([p2]), ..., ([pr]), eh facil ver que a interseccao deles eh justamente o conjunto (de fato, o ideal) dos nilpotentes de Z_n e, portanto, que:
x nao eh nilpotente <==> algum pi nao divide x <==> x nao pertence a ([pi]).
[]s,
Claudio.
on 18.04.05 18:55, claudio.buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:
Oi, Carol:
Obrigado pela dica. Com ela consegui acabar a demonstração.
Fiz a construção padrão para usar o lema de Zorn (não sabia que era de Kuratowski também), colocando I(T) = União(J em T) para cada subconjunto totalmente ordenado T de S e concluindo que T é limitado superiormente por I(T), que é claramente um ideal.
Daí, pelo lema, S tem um elemento maximal P.
Como P pertence a S, x^n não está contido em P para nenhum n > 0.
Em particular, x não pertence a P.
Agora, sejam a, b elementos do anel tais que:
a não pertence a P e b não pertence a P.
Então, P está propriamente contido nos ideais (a) + P e (b) + P, de modo que estes ideais não pertencem a S (pois P é um elemento maximal de S) e, portanto, existem inteiros positivos m e n tais que:
x^m pertence a (a) + P e x^n pertence a (b) + P ==>
x^(m+n) = x^m*x^n pertence a ((a) + P)*((b) + P) = (ab) + P.
Além disso, como x é, por hipótese, um elemento não nilpotente, x^(m+n) <> 0 ==>
ab não pode pertencer a P pois, se pertencesse, teríamos que
x^(m+n) pertence a (ab) + P = P, uma contradição ==>
P é um ideal primo ao qual x não pertence ==>
contradição pois, por hipótese, x pertence a todos os ideais primos do anel.
Conclusão: x tem que ser nilpotente.
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sun, 17 Apr 2005 19:48:01 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Elemento Nilpotente
> Olá, Claudio.
>
> Tenho uma sugestão.
>
> Tome x um elemento pertencente a todos os ideais primos de um anel comutativo.
> Suponha que x não seja nilpotente.
>
> Seja S o conjunto dos ideais J que verificam a seguinte propriedade: x^n não pertence a J, se n > 0.
>
> Mostre que S é ordenado (por inclusão) indutivo. Pelo lema de Zuratowski-Zorn, S tem um elemento maximal P.
>
> Verifique que P é um ideal primo. Assim, obtemos uma contradição, pois P é um ideal primo ao qual x não pertence.
>
> Logo, x é nilpotente.
>
> []s
> Carol
----- Original Message -----
From: claudio.buffara <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>
To: obm-l <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, April 17, 2005 7:12 PM
Subject: [obm-l] Elemento Nilpotente
>
> Como é que eu provo que se um elemento pertence a todos os ideais primos de um anel comutativo, então este elemento é nilpotente?
>
> Obs: a recíproca também vale, mas esta eu consegui provar.
>
> []s,
> Claudio.